Análisis Numérico De Ecuaciones Diferenciales

República Bolivariana de Venezuela                                                                                                                                                                     Ministerio del Poder Popular para la Defensa                                                                                                     Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada                                                               UNEFA FALCON / EXTENSION PUNTO FIJO

Comunidad Cardón, Octubre 2015

 República Bolivariana de Venezuela                                                                                                                                                                     Ministerio del Poder Popular para la Defensa                                                                                                     Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada                                                               UNEFA FALCON / EXTENSION PUNTO FIJO

Análisis Numérico De Ecuaciones Diferenciales

 Integrantes:

Solórzano Naomi C.I: 25.651.982

Colina Johanmy C.I: 25.402.852

Primera Leonor C.I: 25.128.007

Romero Anabel C.I: 23.458.214

|Análisis numérico:

El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que encargada de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.

Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

Ecuaciones diferencial ordinaria:

En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es la que contiene una función desconocida de una variable independiente y relaciona con sus derivadas:

• una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias variables), y
• una o más de sus derivadas respecto de tal variable.

Recursos de la física, la ingeniería, la economía, la meteorología y en aplicaciones como las de modelado en ciencias, se las estudia en diversas áreas (como geometría, mecánica y astronomía) y perspectivas. Matemáticamente es de crucial interés el conjunto de funciones que verifican la ecuación y establecen sus soluciones.

Ecuacion:

[pic 1]

Ecuaciones de Variables Separadas:

Son EDOs de la forma:

[pic 2]

En donde es posible "despejar" todos los términos con la variable dependiente en función de la variable independiente, quedando ahora la ecuación:

[pic 3]

En donde se procede integrando ambos miembros de la ecuación

[pic 4]

Ecuación exacta:

Una ecuación de la forma:

[pic 5]

se dice exacta si existe una función F que cumpla:

[pic 6]

y

[pic 7]

Su solución es entonces:

[pic 8]

EDO de primer orden y homogénea

La ecuación diferencial ordinaria de primer orden:

[pic 9]

Para resolver se usa la sustitución y=xv, siendo v= v(x) una función desconocida. Sin embargo, la palabra ' homogénea' asume otro significado, dentro del estudio de las EDOs, fuera de este contexto.

Ecuación lineal

Una ecuación diferencial es lineal si presenta la forma:

[pic 10]

Y que tienen por solución:

[pic 11]

Como se puede apreciar, esta ecuación es una ecuación diferencial de Bernoulli, con n=0.

Ecuación de Bernoulli

Una ecuación diferencial de Bernoulli, que es a su vez una generalización de la ecuación diferencial lineal, fue formulada por Jakob Bernoulli y resuelta por su hermano, Johann Bernoulli y presenta la forma:

[pic 12]

En la cual, si se hace la sustitución [pic 13], la ecuación se transforma en una ecuación lineal con z como variable dependiente, resolviéndose de manera análoga.

Ecuación de Riccati

Esta ecuación diferencial introducida por Jacopo Francesco Riccati presenta la estructura:

[pic 14]

Para resolverla, se debe hacer la sustitución [pic 15], donde [pic 16] es una solución particular cualquiera de la ecuación.

Ecuación de Lagrange

[pic 17]

Resolviéndose con la sustitución [pic 18], diferenciando y sustituyendo dy por pdx, se convierte a otra considerada en x como función de p, es lineal. Resolviendo está última [pic 19], se halla la solución general de la ecuación inicial en forma paramétrica:

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