Cálculo de aproximaciones usando la diferencial

Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.

El cálculo de aproximaciones usando diferenciales es una técnica en cálculo diferencial que utiliza derivadas para estimar cambios en una función y aproximar valores cercanos. Se basa en la idea de que, para pequeños cambios en la variable independiente, la función puede aproximarse linealmente mediante su derivada. Esto se expresa mediante la diferencial dy = f'(x)  dx, donde dy es el cambio en la función, f'(x) es la derivada de la función en un punto dado, y dx es el cambio en la variable independiente. Esta técnica es útil para hacer cálculos más sencillos y rápidos al trabajar con valores cercanos a un punto conocido.

Ejemplo 1: Aproximación lineal

Supongamos que tenemos la función \(f(x) = x^2\) y queremos aproximar el valor de \(f(2.1)\) utilizando diferenciales. La derivada de \(f(x) = x^2\) es \(f'(x) = 2x\).

Dado que estamos interesados en \(f(2.1)\), podemos usar la aproximación lineal:

\[ \Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x \]

Donde \(\Delta y\) es el cambio en \(f(x)\), \(f'(x)\) es la derivada en \(x\), y \(\Delta x\) es el cambio en \(x\). Tomando \(x = 2\) y \(\Delta x = 0.1\), obtenemos:

\[ \Delta y \approx 2 \cdot 0.1 = 0.2 \]

Entonces, la aproximación lineal nos da \(f(2.1) \approx f(2) + \Delta y \approx 4 + 0.2 = 4.2\).

Ejemplo 2: Tasa de cambio instantánea

Supongamos que tenemos la función \(g(t) = 3t^2\) que modela la posición de un objeto en función del tiempo \(t\). Queremos conocer la velocidad instantánea del objeto en \(t = 2\). La velocidad instantánea está dada por la derivada de la posición respecto al tiempo, \(g'(t)\).

Usando diferenciales, la aproximación es \( \Delta g \approx g'(t) \cdot \Delta t \). Tomando \(t = 2\) y \(\Delta t = 0.1\), donde \(g'(t) = 6t\), obtenemos:

\[ \Delta g \approx 6 \cdot 2 \cdot 0.1 = 1.2 \]

Entonces, la aproximación nos da una velocidad instantánea de \(1.2\) unidades de posición por unidad de tiempo en \(t = 2\).

La diferencial de una función es el producto de la derivada de la función por el incremento de la variable independiente.

Para expresar la diferencial de una función usamos la letra d colocada antes de la función.

Ejemplos:

        1. Sea la función y = x4

            Su primera derivada es y′ = 4x3

            Su diferencial se expresa dy = 4x3 Δx

        2. Calcular la diferencial de la función y = 3x2 para x = 4 y el Δx = 0.2

                y′ = 6x

                Sustituyendo d(3x2) = 6(4)(0.2) = 4.8

Para expresar la derivada de una función podemos utilizar cualquiera de las formas siguientes:

        Por lo tanto:

Derivada: [pic 2]

Sea la función y = f(x), la primera derivada se expresa[pic 3]. Si multiplicamos ambos miembros por dx, tenemos: [pic 4]

        Que aceptamos como otra definición de la diferencial de una función. Ésta se lee: la diferencial de una función es igual al producto de la derivada por la diferencial de la variable independiente.

Definición: Sea [pic 5] una función derivable en un intervalo abierto que contiene a x. La diferencial de x (denotada dx) es cualquier número real no nulo. La diferencial de y (denotada dy) es.

                                                     [pic 6]

En muchas aplicaciones, la diferencial de y se puede utilizar como aproximación del cambio en y. Es decir.

                                        [pic 7]      o         [pic 8]

Interpretación Geométrica.

[pic 9]

        Cuando se usa la recta tangente a f en el punto (c, f (c))

[pic 10]        Recta tangente [pic 11][pic 12]

como aproximación de la gráfica de f, la cantidad x – c se llama el cambio en x, y se denota por Δx (Figura 3.64). Cuando Δx es pequeño, el cambio  en y (denotado Δy) se puede aproximar como sigue.

                                               [pic 13]        Cambio aproximado  de y

En tales aproximaciones, la cantidad [pic 14]se suele denotar por dx y se llama diferencial de x. La expresión [pic 15]se denota por dy y se llama diferencial de y.

La Diferencial como aproximación del incremento.

Los físicos y los ingenieros tienden a usar dy como aproximación de Δy de un modo muy libre. Tal sucede en la práctica al estimar errores propagados a partir de los cometidos por los aparatos de medida. Por ejemplo, si x denota el valor medido de una variable y x + Δx representa el valor exacto, entonces Δx es el error de medida. Finalmente, si el valor medido de x es utilizado  en el cálculo de algún otro valor f(x), la diferencia entre [pic 16]y [pic 17] es el error propagado.

[pic 18][pic 19][pic 20]

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