CALCULO DIFERENCIAL

Tarea 1 – Funciones

Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD)

Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería (ECBTI)

Septiembre 2020

Ejercicios – Tarea 1

A continuación, se presentan los ejercicios y problemas asignados para el desarrollo de Tarea 1 en este grupo de trabajo, debe escoger un numero de estudiante y desarrollar los ejercicios propuestos para este estudiante únicamente. Tenga en cuenta los enunciados que hacen referencia al uso de GeoGebra para su comprobación y análisis gráfico, recuerde que uno de los elementos a evaluar en la actividad es al análisis gráfico en GeoGebra.

EJERCICIOS

1. Representar en GeoGebra las funciones dadas y determinar comprobando analíticamente:  

1. Tipo de función
2. Dominio y rango
3. Asíntotas, tanto vertical y horizontal, si las tiene:

Solución Ejercicio (a) Estudiante (5)

[pic 3]

[pic 4]

1. Esta función es polinómica de grado 3, el cual empieza de mayor exponente a menor exponente (el polinomio está organizado).  

1. Dominio → Conjunto de ℝ

Dominio D = [pic 5]

Dom (f)= ℝ → porque lo exponentes son enteros positivos (-∞, ∞).

Rango (f) = ℝ → D [pic 6]

1. Las funciones polinómicas no poseen asíntotas, debido a que es una función continua.

Solución Ejercicio (b) Estudiante (5)

[pic 7]

[pic 8]

1. Esta función racional, debido a que presenta la forma .[pic 9]

1. Dominio (-∞, 1) U (1, ∞) → En la expresión del dominio aparece una unión debido a que existe una asíntota vertical en X=1.

[pic 10]

 (-∞, 1) U (1, ∞)[pic 11]

[pic 12]

 (-∞, 1) U (1, ∞)[pic 13]

1. A continuación, se presenta el procedimiento para encontrar las asíntotas verticales y horizontales.

[pic 14]

Para encontrar una asíntota horizontal realizamos la división de los coeficientes de las variables independientes (X). Esto se puede realizar debido a que los exponentes del numerador y el denominador son iguales.

[pic 15]

A continuación, presentaremos los tres casos para encontrar asíntotas horizontales:

• Si GN < GD, entonces y= 0.
• Si GN = GD, entonces y→ Este caso aplico para nuestro ejercicio.[pic 16]
• Si GN > GD, entonces y =∉ no hay asíntota horizontal

Entonces en la grafica anterior tenemos una asíntota horizontal en y=1.

Para encontrar una asíntota vertical realizamos el siguiente procedimiento decimos que:

Lim f(x)= -∞

x→[pic 17]

Lim f(x)= ∞

x→[pic 18]

Decimos que la recta x=a es una asíntota vertical, en nuestro caso la asíntota vertical se encuentra en x=1.

[pic 19]

1. Dada la siguiente expresión, escribir a  como función explícita de , es decir . Luego, calcular la función inversa  (Indicando la restricción del dominio si es necesario).[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

SOLUCIÓN

Vamos a despejar la variable y

[pic 25]

Quedando así las variables (y) a la izquierda, y las variables (x) a la derecha

[pic 26]

Después se realizan las respectivas operaciones de suma y resta, según los términos semejantes

[pic 27]

[pic 28]

 – y= 0[pic 29]

Después de haber igualado nuestra función a cero, debemos revisar que tiene una forma igual a la de una función cuadrática, para resolver dicha ecuación aplicaremos la ecuación de función cuadrática.

[pic 30]

                                                        a=1

b=-6

                                                        c= 9-y

[pic 31]

                Reemplazando los valores de a, b, c en mi ecuación me quedaría:

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

                           se realiza el cambio de variable x por y

[pic 35]

y= 3[pic 36]

La función inversa de esta función  es:[pic 37]

y= 3
[pic 38]

1. Dado los tres puntos  hallar:[pic 39]

1. La ecuación de la recta . [pic 40]
2. La ecuación de la recta perpendicular a la recta   pasando por C.  [pic 41]
3. La distancia  entre el punto  y un punto  que intersecta la recta   y la recta que es perpendicular a  y pasa por el punto .[pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]
4. Comprobar gráficamente en GeoGebra los cálculos realizados.  

Solución Ejercicio (a)

La ecuación de la recta [pic 49]

A=     B= ( ,)[pic 50][pic 51][pic 52]

Hallamos la pendiente:

=[pic 53][pic 54]

Hallamos el corte con el eje y.

y=mx+b 🡪 ecuación de la recta

1=1(1) +b

b=0

La ecuación de la recta es:

y=x

1. La ecuación de la recta perpendicular a la recta   pasando por C.[pic 55]

Perpendicular a  y pasa por c (-2,2).[pic 56]

Hallamos el reciproco de la pendiente

...