CONJUNTOS Y VECTOR TÍPICO

#S0CI4CI0K[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

[pic 7][pic 8][pic 9]

CONJUNTOS Y VECTOR TÍPICO

Los ejercicios en general no presentan conjuntos simples como por ejemplo P2 (polinomios de grado menor igual a 2), mas bien presentan conjuntos más compuestos, por ejemplo:

S={ p(x) / p(x) ∈ P3 y p(-1)+p(1)=0 y p(0)-p(1)=0}

…supongamos que te preguntan ¿p(x)=1+x2 ∈S ?... ¿Qué harías?

Si lo vas a trabajar así como te lo han definido, debes verificar si p(x) cumple con las condiciones del conjunto S[pic 10][pic 11]

S={ p(x) / p(x) ∈ P3 y p(-1)+p(1)=0 y p(0)-p(1)=0}

condiciones del conjunto S

En nuestro caso, p(x)∈ P3 (cumple) ; p(-1) )+p(1)=(1+(-1)2)+(1+(1)2)=4 ≠ 0 (no cumple)

por lo tanto: p(x)∉ P3

Otra opción es hallar un vector típico, que es un vector genérico el cual cumple con todas las condiciones del conjunto. En el ejemplo sería:

S={ p(x) / p(x) ∈ P3 y p(-1)+p(1)=0 y p(0)-p(1)=0}

desarrollamos las condiciones…

p(x) ∈ P3        entonces  p(x)= a+bx+cx2+dx3        (vector típico de P3) p(-1)+p(1)=0        (a+b(-1)+c(-1)2+d(-1)3)+(a+b(1)+c(1)2+d(1)3)=0 (evaluando)

⇒ (a-b+c-d)+ (a+b+c+d)=0

⇒  2a+2c=0        (condición desarrollada)

p(0)-p(1)=0        (a+b(0)+c(0)2+d(0)3)-(a+b(1)+c(1)2+d(1)3)=0        (evaluando)

⇒ (a)-(a+b+c+d)=0

⇒  -b-c-d=0        (condición desarrollada)

Con las condiciones desarrolladas, obtengo un sistema

2a+2c=0

-b-c-d=0

2 ecuaciones 4 incógnitas, se escogen dos incógnitas como variables libres; escojo c y d resultando...

a=-c        b=-c-d

reemplazo lo que obtuve en el vector típico de P3, obteniendo…

S={ (-c)+(-c-d)x+cx2+dx3 / c,d∈R }

Vector típico de S

Este vector nos indica que el coeficiente libre debe ser el negativo del de x2 (o lo que es lo mismo que decir que el coeficiente de x2 debe ser el negativo del coeficiente libre) y que el coeficiente de x debe ser la suma de los inversos aditivos de los coeficientes de x2 y x3. El vector típico no es único, basta con escoger otras incógnitas como variables libres para obtener otro vector típico.

Veamos como se resuelve la pregunta ¿p(x)=1+x2 ∈S ? utilizando al vector típico.

en este caso, c=1 y d=0, p(x) no mantiene la forma del vector típico ya que el coeficiente libre debería ser -1 y es 1; por lo tanto: p(x)∉ P3

¿p(x)=1+x-x2 ∈S ?    c=-1 y d=0, reemplazando dichos valores en el vector típico nos queda el mismo    p(x); entonces p(x) sí mantiene la forma del vector típico, por lo tanto: p(x)∈P3

En el vector típico obtenido (-c)+(-c-d)x+cx2+dx3 los coeficientes de x2 y x3 se les llama entradas del vector, en un vector típico de la forma ax+(a+b) x2+bx3 los coeficientes de x y x3 serian las entradas y el, coeficiente libre siempre tendrá el valor cero.

• Halle el vector típico de:        W={A∈ M3x3 / aij=0 para i>j}

Desarrollamos las condiciones…

⎛ a11[pic 12]

A∈M3x3        ⇒ A= ⎜ a21

a12 a22

a13 ⎞

a23 ⎟[pic 13][pic 14]

(vector típico de M3x3)

⎜[pic 15]

⎝ 31[pic 16][pic 17]

a32

a33 ⎠

aij=0 para i>j        ⇒        verificamos la condicion para cada elemento del vector típico de M3x3

a11 1>1 (no cumple) ⇒ a11 ∈R a12 1>2 (no cumple) ⇒ a12 ∈R a13 1>3 (no cumple) ⇒ a13 ∈R a21 2>1 (cumple)        ⇒ a21=0 a22 2>2 (no cumple) ⇒ a22 ∈R

⎛ a11[pic 18]

a12

a13 ⎞[pic 19]

a23 2>3 (no cumple) ⇒ a23 ∈R a31 3>1 (cumple)        ⇒ a31=0 a32 3>2 (cumple)        ⇒ a32=0 a33 3>3 (no cumple) ⇒ a33 ∈R

...