Calculo.

INTERVALO DE COFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN CUALQUIERA CON VARIANZA CONOCIDA

Las circunstancias específicas para la construcción de este intervalo son las siguientes :

Intervalo para 

Conocida  ( o la varianza )

Distribución poblacional desconocida.

Nivel de confianza dado 1-

Tamaño muestral desconocido luego nos colocamos en el peor de los casos , es decir pequeño.

Partiendo del conocido teorema de Markov :

donde g(x) es una función cualquiera de la variable aleatoria x , y dicha función g está definida NO negativa,

siendo c una constante cualquiera. Así :

definiendo g(x)= es , evidentemente , no negativa

y tomando c=H2 tendremos en aplicación de Markov :

dado que :

tendremos que

transponiendo este resultado al enunciado general :

tomando la raíz cuadrada tendremos

despejando para centrar el parámetro a estimar 

si queremos establecer un nivel de confianza 1- igualaremos éste a d e manera que por lo que en función del nivel de confianza el intervalo quedaría :

o bien : con más de 1- de confianza

ir a esquema

ejemplo 1

En población cuya distribución se desconoce se obtiene una muestra (m.a.s.) de 2000 valores de la que resulta una media de 225 y una desviación típica de 10 . Suponiendo que la varianza muestral coincide con la poblacional , estimar un intervalo para la media de la población con un nivel de confianza del 95%.

Tendríamos 1- =0.95 luego  =0.05 ; S=10= ; n=2000 ;

con

aplicando con más de 0.95 de confianza.

INTERVALO PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL CON VARIANZA CONOCIDA

Las circunstancias específicas para la construcción de este intervalo son las siguientes :

Intervalo para 

Conocida  ( o la varianza )

Distribución poblacional normal.

Nivel de confianza dado 1-

Tamaño muestral desconocido luego nos colocamos en el peor de los casos , es decir pequeño.

Conocemos que la media muestral se distribuye luego tipificando

Como se ha comentado ,al ser la normal reducida una distribución simétrica y unimodal, el intervalo de menor amplitud y de probabilidad

1 -  será el intervalo centrado en la media ,es decir:

el intervalo . Donde es el valor de la tabla de la N[0 ;1] que haga que Es decir el valor de la normal reducida que deje a su derecha una cola de probabilidad de  /2 Así el valor será el valor simétrico de (con signo negativo) y dejará a su izquierda una cola de  /2 . De esta forma entre , y queda encerrada una probabilidad de 1 -  :

sería así el intervalo de menor amplitud :

despejando la media poblacional tendríamos :

...