Cantidad De Movimento Lineal

INTRODUCCION

La cantidad de movimiento o momento lineal se refiere a objetos en movimientos y es una magnitud vectorial que desempeña un papel muy importante en la segunda ley de Newton. La cantidad de movimiento combina las ideas de inercia y movimiento. También obedece a un principio de conservación que se ha utilizado para descubrir muchos hechos relacionados con las partículas básicas del Universo. La ley de la conservación de la cantidad de movimiento y la ley de la conservación de la energía, son las herramientas más poderosas de la mecánica. La conservación de la cantidad de movimiento es la base sobre la que se construye la solución a diversos problemas que implican dos o más cuerpos que interactúan, especialmente en la comprensión del comportamiento del choque o colisión de objetos. En esta monografía trataremos de este concepto físico, algunas de sus características y además del centro de masa. 

Centro de masa

El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia como c.m..

En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde, a efectos inerciales, se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los que no es indispensable considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas.

En la Física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio. Así tendremos que:

 el centro de masas coincide con el centroide cuando la densidad es uniforme o cuando la distribución de materia en el sistema tiene ciertas propiedades, tales como simetría.

 el centro de masas coincide con el centro de gravedad, cuando el sistema se encuentra en un campo gravitatorio uniforme (el módulo y la dirección de la fuerza de gravedad son constantes).

Calculo del centro de masa

Distribución discreta de materia

Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas puntuales, el centro de masas se puede calcular como:

, masa de la partícula i-ésima.

, vector de posición de la masa i-ésima respecto al sistema de referencia supuesto.

Distribución cuasidiscreta de materia

En el caso de un sistema de cuerpos cuasipuntuales, o cuerpos que distan entre sí mucho más que las dimensiones de cada uno de los cuerpos, el cálculo anterior resulta bastante aproximado.

Distribución continua de materia

Para sistemas de masas continuos o distribuciones continuas de materia debemos recurrir al Cálculo Infinitesimal e Integral, de modo que la expresión anterior se escribe en la forma:

 Distribución de masa homogénea: Si la masa está distribuida homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la relación siguiente:

siendo V el volumen total.

Para cuerpos bidimensionales (superficies) o monodimensionales (líneas) se trabajará con densidades superficiales y longitudinales respectivamente.

Para el caso de cuerpos con densidad uniforme, el c.m. coincidirá con el centroide del cuerpo.

 Distribución de masa no homogénea: Los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad . En este caso se calcula el centro de masas de la siguiente forma.

Obviamente, para calcular la integral hay que conocer la función de densidad.

Movimiento del centro de masa

Consideremos un sistema simple de partículas consistente en un muelle en posición vertical que tiene una masa M en el extremo superior y una masa m en su extremo inferior. Se supone que la masa del muelle es despreciable. Inicialmente, el muelle de constante k, está en equilibrio sujeto por la masa M tal como se muestra en la figura.

Situación inicial:

Si l es la longitud del muelle sin deformar, cuando se cuelga de su extremo inferior una masa m, la longitud del muelle se incrementa en d

mg=kd

Para analizar el problema, estableceremos el origen, en la posición inicial de la partícula de masa M, y consideraremos positivas las distancias medidas en sentido descendente.

Ecuación del movimiento de cada una de las partículas:

Cuando se libera el muelle, al cabo de un cierto tiempo t, la posición de la masa inferior m es x y el de la masa superior M es y. Aplicando las leyes de la dinámica a cada una de las partículas vamos a calcular sus posiciones x e y en función del tiempo t.

La deformación del muelle en el instante t es l-(x-y) y la fuerza que ejerce el muelle sobre cada una de las partículas es F=k•(l-x+y).

• Cuando el muelle está comprimido l>(x-y), la fuerza F=k(l-x+y) es positiva (figura de la izquierda).

• Cuando el muelle está estirado l<(x-y), la fuerza F=k(l-x+y) es negativa (figura de la derecha).

Movimiento de la partícula de masa m

Condiciones iniciales: para t=0 su velocidad inicial es cero dx/dt=0 y se encuentra en x=l+d

Movimiento de la partícula de masa M

Condiciones iniciales: para t=0, su velocidad inicial es cero dy/dt=0 y se encuentra en el origen y=0.

Movimiento del centro de masa del sistema de dos partículas

La posición del centro de masas del sistema de dos partículas es

Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones diferenciales, llegamos a la ecuación del movimiento del c.m. del sistema

El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema bajo la acción de la resultante de las fuerzas exteriores aplicadas al sistema.

Las condiciones iniciales son: en el instante t=0, la velocidad inicial del c.m. es cero y se encuentra en z0, cuando el muelle estaba sujeto por la parte superior, x=l+d, y=0.

La aceleración del centro de masas es constante e igual a g. La posición del centro de masas en función del tiempo, será.

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