DEFINICIÓN DE SERIE O FINITA O INFINITA

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CONTENIDO

INTRODUCCION:        3

DEFINICIÓN DE SUCESIÓN        4

DEFINICIÓN DE SERIE O FINITA O INFINITA        6

SERIE NUMÉRICA Y CONVERGENCIA. CRITERIO DE LA RAZÓN. CRITERIO DE LA RAÍZ. CRITERIO DE LA INTEGRAL        9

SERIES DE POTENCIAS        12

RADIO DE CONVERGENCIA        14

SERIE DE TAYLOR        15

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES MEDIANTE LA SERIE DE TAYLOR        18

CÁLCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES EXPRESADAS COMO SERIE DE TAYLOR        20

CONCLUSIÓN:        22

BIBLIOGRAFÍAS        23

INTRODUCCION:

DEFINICIÓN DE SUCESIÓN

Una sucesión es un conjunto ordenado de números. Por ejemplo: 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . es la sucesión de los números pares positivos. El primer elemento es 2, el segundo es 4, el quinto es 10 y el elemento que ocupa el lugar n es 2n. Un ejemplo es asociar a cada número natural 1, 2, 3, . . . un número par 2, 4, 6, . . .: 1 2 3 4 5 · · · n · · · ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ · · · ↓ · · · 2 4 6 8 10 · · · 2n · · · Por lo tanto, una sucesión no es más que una función definida sobre los números naturales que toma valores reales.
Definición
Una sucesión de números reales es una función f: N → R. Si f(n) = an, decimos que an es el n-ésimo término de la sucesión. Usualmente escribiremos (an) ∞ n=1 o {an, n ≥ 1} para denotar esta sucesión y en algunos casos simplemente (an).

Observación
En algunos casos consideraremos sucesiones que comienzan en cero en lugar de comenzar en uno: {an, n ≥ 0}. También consideraremos sucesiones que comienzan en un índice arbitrario c, {an, n ≥ c} o sucesiones dóblemente infinitas: {an, n ∈ Z}

Sea (an) ∞ n=1 una sucesión en R y a ∈ R. Decimos que la sucesión (an) ∞ n=1 converge a a, si para todo real positivo  existe un entero positivo N = N () tal que |an − a| < , siempre que n ≥ N.

Si (an) ∞ n=1 converge a a escribimos an → a cuando n → ∞ o limn→∞ an = a, decimos que a es el límite de la sucesión (an) ∞ n=1 y que la sucesión es convergente. Una sucesión que no es convergente, es divergente. Esta definición formaliza la siguiente idea intuitiva: a es el límite de la sucesión (an) si a medida que crece el índice n los elementos an de la sucesión están cada vez más próximos al límite a.

Ejemplo: an = 1/n.

Esta sucesión converge a 0 en R: dado > 0 escogemos N = N () tal que 1 N < . Entonces tenemos que para todo n ≥ N

|an − a| = 1/n− 0 = 1/ n ≤ 1 /N < .

Gráficamente, la convergencia equivale a que, para cualquier ε > 0, a partir de un cierto índice N, todos los miembros de la sucesión caigan dentro de una banda de ancho 2ε centrada en el valor del límite, que es cero en este caso.

Ejemplo: an = n.

Esta sucesión es divergente ya que para cualquier a ∈ R y cualquier  > 0 fijo existe N ∈ N tal que N > a + y la condición de la definición no se satisface.

Ejemplo: an = 1 + 1 n. 

Consideremos la sucesión an = 1 + 1 n para n ∈ N. Vimos que la sucesión (1 n) converge a 0 y por lo tanto nuestra idea intuitiva es que la sucesión an = 1 + 1 n debe converger a 1 + 0 = 1. Comprobemos a partir de la definición que esto es cierto. Sea  > 0, queremos ver que existe N = N () tal que si n ≥ N, |an − 1| < . |an − 1| =    1 + 1 n − 1    =    1 n    = 1 n.
Al igual que en el ejemplo 1, basta escoger N de modo que 1 N <  para tener |an − 1| = 1 n ≤ 1 N < .

Propiedades.

Supongamos que (an) e (bn) son sucesiones de números

reales y an → a, bn → b. Entonces

1. El límite de una sucesión convergente es único.

2. Toda sucesión convergente es acotada.

3. lim (an + bn) = a + b

4. Para c ∈ R, lim(can) = ca

5. lim(anbn) = ab

6. lim(an/bn) = a/b si b 6= 0, bn 6= 0 para n ∈ N.

Ejemplo. Determine limn→∞ 3n 2 7n 2 + 1. Al igual que en el caso de límites de funciones, en el caso de un cociente de polinomios conviene dividir numerador y denominador entre la mayor potencia de n que aparezca en el denominador. limn→∞ 3n 2 7n 2 + 1 = limn→∞ 3 7 + 1/n 2 = limn→∞ 3 limn→∞ 7 + limn→∞ 1/n 2 = 3 7 + 0 = 3 7

Ejemplo: an = n 2. Esta sucesión tiende a infinito: como los términos de la sucesión son positivos basta considerar k > 0 en la definición. En este caso basta tomar N ≥ √ k para obtener que n ≥ N =⇒ an > k

Ejemplo: an = (−1) n.

Si n es par, an = 1 mientras que, si n es impar, an = −1; pero ni 1 ni −1 pueden ser límites de esta sucesión: Supongamos que 1 es límite, entonces a partir de un cierto entero N, todos los términos de la sucesión deberían satisfacer |an − 1| < 1/2. Pero si n > N es impar entonces |an − 1| = | − 1 − 1| = 2 > 1/2, y la sucesión no converge a 1.

DEFINICIÓN DE SERIE O FINITA O INFINITA

Definición

[pic 4]Sea (an)∞ n=1 una sucesión de números reales. Para cada n ∈ N definimos

[pic 5]La sucesión (Sn)n≥1 se conoce como la serie infinita asociada a, o generada por, la sucesión (an)∞ n=1. La notación usual es

Decimos que an es el n-ésimo sumando y Sn es la n-ésimo suma parcial de la serie.

[pic 6]Definición Si la sucesión de sumas parciales (Sn)n≥1 converge decimos que Pan es una serie convergente. En caso contrario la serie es divergente. Si P∑ limn→∞ Sn = S decimos que S es la suma de la serie an y escribimos X∞ n=1 an = S

Así, para las series convergentes, el símbolo P∑∞ n=1 an tiene un doble papel: representa la serie y también su suma.
Es importante distinguir claramente entre la sucesión (an)∞ n=1 y la serie P∑∞ n=1 an y entienda la relación entre ambas.
Consideraremos ocasionalmente series de la forma

P∑∞ n=p

an donde p ∈ Z, las cuales definimos como la serie
∑∞ n=1 bn donde bn = an+p−1

Propiedad 1.

Si P∑an converge entonces limn→∞ an = 0

La condición enunciada en la propiedad 1 es sólo necesaria, como lo muestra el siguiente ejemplo.

[pic 7]Ejemplo 1:

Propiedad 2.

Si ∑an converge, dado  > 0 existe N ∈ N tal que si m ≥ N entonces…

Observación

Si se cambia un número finito de sumandos de una serie no se altera su convergencia o divergencia, pero puede variar el valor de su suma.

Propiedad 3.

Si ∑an y ∑bn son series de términos reales y an = bn para todo n suficientemente grande, entonces o ambas series convergen o ambas divergen.

Propiedad 4.

Si ∑an es una serie convergente de términos reales y c ∈ R entonces ∑∞ n=1 can = c ∑∞ n=1 an[pic 8].

Propiedad 5.

Si ∑an y ∑bn son series convergentes de términos reales entonces ∑∞ n=1 (an + bn) = ∑∞ n=1 an + ∑∞ n=1 bn.

Serie finita o Serie infinita:

Una serie infinita es una suma de infinitos términos y está escrita en la forma

[pic 9]

No podemos sumar un número infinito de términos de la misma manera que podemos sumar r un número finito de términos. En cambio, el valor de una serie infinita se define en términos del límite de sumas parciales. Una suma parcial de una serie infinita es una suma finita de la forma.

[pic 10]

Ejemplo:

Suponga que el petróleo se está filtrando en un lago de manera que 1000 galones ingresen al lago la primera semana. Durante la segunda semana, 500 galones adicionales de petróleo ingresan al lago. La tercera semana, 250 galones más ingresan al lago. Suponga que este patrón continúa de tal manera que cada semana la mitad del petróleo ingresa al lago como lo hizo la semana anterior. Si esto continúa para siempre, ¿qué podemos decir sobre la cantidad de petróleo en el lago? ¿La cantidad de petróleo continuará aumentando arbitrariamente o es posible que se acerque a una cantidad finita? Para responder a esta pregunta, observamos la cantidad de petróleo en el lago después de k semanas. Dejando que Sk denote la cantidad de petróleo en el lago (medido en miles de galones) después de k semanas, vemos que.

...