DISTRIBUCION CONTINUA

DISTRIBUCION EXPONENCIAL

Definición: Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribución exponencial con parámetro β si su función de densidad de probabilidad es:

para x ≥0

Es un modelo apropiado para la vida útil de objetos.

Si la distribución de Poisson da una descripción del número de ocurrencias por intervalo, la distribución exponencial aporta una descripción de la longitud de intervalos entre las ocurrencias. Por ejemplo el número de automóviles que llegan a una estación de lavado de coches durante una hora se describe mediante la distribución de Poisson con una media de 5 automóviles por hora. El tiempo promedio entre llegadas es 1hora / 5 automóviles = 0.20 hora/automóvil. La distribución exponencial describe el tiempo entre llegadas tiene una media de 0.20 por automóvil y la función de densidad exponencial será f(x) = 5 e-5x

Función de distribución acumulada exponencial:

P(X<x_0 )=1-e^(βx_0 )

Valor esperado E[X] = 1/β Varianza de X: V[X] = 1/β2

Ejemplo:

El tiempo durante el cual cierta marca de batería trabaja en forma efectiva hasta que falle se distribuye según un modelo exponencial con un tiempo promedio de fallas de 360 días.

a).- ¿Qué probabilidad hay que el tiempo de falla sea mayor de 400 días?

b).- Si la batería ya trabajo 400 días ¿Qué probabilidad hay que trabaje 200 días mas?

c).- Si se utilizan 5 de estas baterías calcular la probabilidad de que más de dos de ellas continúen trabajando después de 360 días

Solución:

Sea X el tiempo que trabaja la batería hasta que falla.

E[X] = 360 = 1/β

entonces

β = 1/360

La función de distribución es:

a).- P(X>400) = 1 – F(400) = 1 – = 0.329

b).-

P(X > x) = 1 – F(x) = 1 – (1- e-x) = e-x

P(X>400+200 / X>400) = P(X>200) = e -200/360 =0.574

c).- P(X>360) = 1 – F(360) = 1 – = 0.368

Si Y es la variable para el número de baterías de 5 que siguen trabajando después de 360 días entonces

Y  Binomial con n = 5 y p = 0.368

P(Y>2) = P(Y≥3) = ∑_(k=3)^5▒〖C_k^5 〖0.368〗^k 〖0.632〗^(5-k)=0.26376〗

Ejercicio:

Considere la siguiente función de densidad de probabilidad exponencial:

f(x)=1/8 e^((-x)/8)

a).- Encuentre la fórmula para hallar P(X<x0)

b).- Halle P(X<2)

c).- Encuentre P(X>3)

d).- Halle P(X<5)

e).- Halle P(2<X<5)

DISTRIBUCION t DE STUDENT

A principios del siglo XX, William Sealy Gosset (seudónimo de "Student"), un empleado de la cervecería Guinness, trabajo intensamente para resolver el problema de determinar la distribución de la variable aleatoria que ahora se conoce como t de Student. Esto con el fin de resolver el problema que el empleo de la distribución normal acarreaba al utilizarla en muestras pequeñas. Es decir, "Student" se dio cuenta que la distribución normal no representaba apropiadamente muestras pequeñas, digamos menores de 30 elementos.

Grados de libertad: Si los parámetros de una población deben estimarse a partir de los valores de una muestra. Los grados de libertad “r” es el número de observaciones menos el número “k” de parámetros de la población que deben estimarse a partir de las observaciones de la muestra: r = n - k

La distribución t de Student tiene propiedades parecidas a una distribución N(0,1): Es de media cero, y simétrica con respecto a la misma. Se utiliza para muestras pequeñas. Su parámetro son los grados de libertad.

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