DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA

DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de la distribución uniforme continua es:

Los valores en los dos extremos a y b no son por lo general importantes porque no afectan el valor de las integrales de f(x) dx sobre el intervalo, ni de x f(x) dx o expresiones similares.

A veces se elige que sean cero, y a veces se los elige con el valor 1/(b − a). Este último resulta apropiado en el contexto de estimación por el método de máxima verosimilitud. En el contexto del análisis de Fourier, se puede elegir que el valor de f(a) ó f(b) sean 1/(2(b − a)), para que entonces la transformada inversa de muchas transformadas integrales de esta función uniforme resulten en la función inicial, de otra forma la función que se obtiene sería igual "en casi todo punto", o sea excepto en un conjunto de puntos con medida nula. También, de esta forma resulta consistente con la función signo que no posee dicha ambigüedad.

Función de distribución de probabilidad

La función de distribución de probabilidad es:

Funciones generadoras asociadas

Función generadora de momentos

La función generadora de momentos es

a partir de la cual se pueden calcular los momentos mk

y, en general,

Para una variable aleatoria que satisface esta distribución, la esperanza matemática es entonces m1 = (a + b)/2 y la varianza es m2 − m12 = (b − a)2/12.

'Uniformidad'

La probabilidad de que una variable aleatoria uniformemente distribuida se encuentre dentro de algún intervalo de longitud finita es independiente de la ubicación del intervalo (aunque sí depende del tamaño del intervalo), siempre que el intervalo esté contenido en el dominio de la distribución.

Es posible verificar esto, por ejemplo si X ≈ U(0,b) y [x, x+d] es un subintervalo de [0,b] con d fijo y d > 0, entonces

lo cual es independiente de x. Este hecho es el que le da su nombre a la distribución.

DISTRIBUCIÓN GAMMA

Diremos que una variable aleatoria X, de tipo continuo, sigue una distribución gamma de parámetros p y a, siendo p,a  y p>0 y a>0, XΓ(p,a), si su función de densidad es:

Esta distribución se aplica para representar las siguientes distribuciones:

- Intervalos de tiempo entre dos fallos de un motor.

- Intervalos de tiempo entre dos llegadas de automóviles a una gasolinera.

- Tiempos de vida de sistemas electrónicos, etc.

Función de distribución

El valor de esta expresión no es fácil de obtener, aunque cuando p es entero positivo , la integral se puede calcular por partes y las probabilidades se obtienen de forma aproximada. Con el fin de simplificar el cálculo de estas probabilidades Pearson tabuló la función gamma incompleta para diferentes valores del parámetro p, que viene dada por :

Media: E[X]=p/a

Varianza: Var(X)=p/a²

Propiedad reproductiva

Si son n variables aleatorias independientes, distribuidas según una Γ( ), para i=1,...,n. Entonces la variable aleatoria Y= sigue una distribución Γ( , a).

Ejemplo: Sea X una variable aleatoria con distribución gamma con p=2 y a=50. ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor menor al valor de la media?

Solución: 0,594

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Diremos que una variable aleatoria X, de tipo continuo, sigue una distribución exponencial de parámetro , siendo  y >0, XExp( ), si su función de densidad es

f(x)=

También se pueden modelizar mediante la distribución exponencial las siguientes situaciones:

- la duración de la prestación de un servicio.

- el tiempo entre llegadas sucesivas a una cola o punto de servicio.

- el tiempo de duración de algunos equipos, etc.

Función de distribución

Media : E[X]=1/a

Varianza : Var(X)=1/a²

Ejemplo: El tiempo transcurrido entre la llegada de dos clientes consecutivos al departamento de ventas de un concesionario de una determinada marca de automóviles, es de 20 minutos. Calcular la probabilidad de que el tiempo transcurrido entre la llegada de dos clientes consecutivos no supere la media hora.

Solución:

E[X]=1/a=20 luego a= 0,05. P(X )=0,7769.

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