Distribuciones Continuas

Clase 7:

Algunas Distribuciones Continuas de Probabilidad

Distribución Uniforme Continua

• Una de las distribuciones continuas más simples en Estadística es la Distribución Uniforme Continua. Esta se caracteriza por una función de densidad que es plana, y por esto la probabilidad es

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A esta distribución a menudo se llama distribución rectangular.

• Ejemplo 1: Supongamos que se debe reservar una sala de videoconferencias para cierta asignatura por no más de cuatro horas. Sin embargo, el uso de la sala es tal que muy frecuentemente tienen lugar videoconferencias largas y cortas.

…Distribución Uniforme Continua

• De hecho, se puede suponer que la duración X de una videoconferencia tiene una distribución uniforme en el intervalo [0,4]. a) ¿Cuál es la función de densidad de probabilidad?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que cualquier videoconferencia dada dure al menos tres horas?

a) La función de densidad apropiada para la v.a.c. X en esta

Distribución Normal

• La distribución continua de probabilidad más importante en todo el campo de la estadística es la distribución normal. Su gráfica, que se denomina curva normal, es la curva con forma de campana, la cual describe aproximadamente muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación. Las mediciones físicas en áreas como los experimentos meteorológicos, estudios de la lluvia y mediciones de partes fabricadas a menudo se explican más adecuadamente con la distribución normal. Además, los errores en las mediciones científicas se aproximan extremadamente bien mediante una distribución normal.

• Proporciona una base sobre la cual se fundamenta gran parte de la teoría de la estadística inductiva.

• En 1733, Abraham DeMoivre desarrolló la ecuación matemática de la curva normal.

• La distribución normal, a veces se denomina distribución gaussiana, en honor de Karl Friedrich Gauss (1777-1855), quien también derivó su ecuación a partir de un estudio de errores de mediciones repetidas de la misma cantidad.

• Una v.a. c. X que tiene la distribución en forma de campana como en la figura anterior se llama variable aleatoria normal. La ecuación matemática para la distribución de probabilidad de la variable normal depende de dos parámetros µ y σ, su media y

determinada por completo.

• En Fig.1 trazamos dos curvas normales con la misma media pero con diferentes desviaciones estándar (la curva de color roja tiene menos desviación estándar que la curva azul).

• En la Fig. 1 vemos que las dos curvas están centradas exactamente en la misma posición sobre el eje horizontal, pero la curva azul es más baja y se extiende más lejos. Recordemos que el área bajo la curva de probabilidad debe ser igual a 1, y entre más variable sea el conjunto de observaciones más baja y ancha será la curva correspondiente.

• En la Fig. 2 trazamos dos normales que tienen la misma desviación estándar pero diferentes medias. Las curvas son idénticas en forma pero están centradas en diferentes posiciones a lo largo del eje horizontal.

• En la Fig. 3 muestra el resultado de trazar dos curvas normales que tienen deferentes medias y distintas desviaciones estándar. Claramente, están centradas en posiciones diferentes sobre el eje horizontal y sus formas reflejan los dos valores distintos de σ.

• De una inspección de las figuras anteriores y al examinar la primera y segunda derivada de n(x;µ,σ) se cumple:

1. La moda (punto sobre el eje horizontal donde la curva es un máximo) ocurre en x=µ.

2. La curva es simétrica alrededor de un eje vertical a través de la media µ.

3. La curva tiene sus puntos de inflexión en x=µ ± σ, es cóncava hacia abajo si µ-σ<X< µ+σ, y es cóncava hacia arriba en cualquier otro punto.

4. La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica conforme nos alejamos de la media en cualquier dirección.

5. El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a 1.

6. Los parámetros µ y σ son realmente la media y la desviación estándar de la distribución normal. Tarea verificar los resultados!

• Muchas v.a. tienen distribuciones de probabilidad que se pueden describir de manera adecuada mediante la curva normal una vez que se especifiquen µ y σ. Por ahora supondremos que se conocen estos dos parámetros, quizás de investigaciones previas. Más adelante haremos inferencias estadísticas cuando se desconozcan µ y σ y se estimen a partir de datos experimentales disponibles.

• Áreas bajo la curva. La curva de cualquier función de densidad se construye de modo que el área bajo la curva limitada por las dos ordenadas x=x1 y x=x2 es igual a la probabilidad de que la v.a. X tome un valor entre x=x1 y x=x2. De esta forma la probabilidad

está representada por el área de la región sombreada (ver Fig. 4).

… Distribución Normal

• La dificultad que se encuentra al resolver las integrales de funciones densidades normal necesita de la tabulación de las áreas de la curva normal para una referencia rápida. Sin embargo, sería una tarea difícil intentar establecer tablas separadas para cada valor de µ y σ.

• Afortunadamente, podemos transformar todas las observaciones de cualquier v.a. normal X a un nuevo conjunto de observaciones de una variable normal Z con media 0 y desviación estándar 1. Esto se logra por la transformación

• Siempre que X tome un valor x, el valor correspondiente de Z está dado por z=(x- µ)/σ. Por lo tanto, si X cae entre los valores x=x1 y x=x2 , la v.a. Z caerá entre los valores z1=(x1-µ)/σ y z2=(x2-µ)/σ.

… Distribución Normal

• En consecuencia, podemos escribir

donde Z se ve como una v.a. normal con media 0 y varianza 1.

• La distribución de una v.a. normal con media cero y varianza 1 se llama distribución normal estándar.

• Las distribuciones original y transformada se ilustran en la Fig. 5. Como todos los valores de X caen entre x1 y x2 tienen valores z correspondientes entre z1 y z2, el área bajo la curva X entre las ordenadas x =x1y x=x2 de la Fig. 5 es igual al área bajo la curva Z …

• …entre las ordenadas transformadas z =z1 y z=z2. Con esto hemos reducido el número de tablas que se requiere a una, la de la distribución normal estándar.

…Distribución Normal

• Las Tablas a continuación, indican el área bajo la curva normal estándar que corresponde a P(Z<z) para valores de z

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