DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA

Unidad IV

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA

[pic 1]

D

istribución Normal

La Distribución Gaussiana, recibe también el nombre de Distribución Normal, ya que una gran mayoría de las variables aleatorias (v. a.) continuas de la naturaleza siguen esta distribución. Se dice que una v. a. X sigue una distribución normal de parámetros [pic 2] y [pic 3], lo que representamos del modo [pic 4] si su función de densidad es:

[pic 5] Donde        [pic 6]        [pic 7]

[pic 8]        [pic 9]   [pic 10][pic 11][pic 12]

        [pic 13]                        [pic 14]

La forma de la función de densidad es la llamada Campana de Gauss, (en honor al matemático alemán Carl Friedrich Gauss, es la distribución media o promedio de las características de una población, cuya gráfica produce una figura tipo acampanada) y el área contenida entre la gráfica y el eje de abscisas vale 1.

[pic 15]

Ésta curva alcanza un único máximo en [pic 16], y es simétrica con respecto al mismo, y en ese máximo coinciden la media, la mediana y la moda. La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros [pic 17] y [pic 18].

[pic 19]

• [pic 20] indica la posición de la media de la campana (parámetro de centralización);

[pic 21]

• [pic 22](o equivalentemente) será el parámetro de dispersión. Cuanto menor sea, mayor cantidad de masa de probabilidad habrá concentrada alrededor de la media (grafo de f muy apuntado cerca de [pic 23]) y cuanto mayor sea "más aplastado" será.

[pic 24]

Como es físicamente imposible, e innecesario, construir tablas separadas para todas las parejas de valores concebibles de μ y σ se ha logrado estandarizar la distribución normal por un nuevo conjunto de observaciones de una variable aleatoria para una distribución que tiene μ=0 y σ=1, esto puede realizarse mediante la siguiente transformación:

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

Donde [pic 28]   se conoce como el error estándar.

Ejemplo 4.1

Supóngase que durante periodos de meditación trascendental la reducción del consumo de oxígeno de una persona es una variable aleatoria que tiene una distribución normal con μ=37.6 centímetros cúbicos por minuto y σ= 4.6 cc por minuto. Determine las probabilidades de que durante un periodo de meditación trascendental el consumo de oxígeno de una personal reduzca

a) cuando menos en 44.5 cc por minuto;

b) cuando mucho en 35.0 cc por minuto;

c) entre 30.0 y 40.0 cc por minuto.

d) entre 25.0 y 35.0 cc por minuto.

e) entre 39.0 y 42.0 cc por minuto.

Solución

μ = 37.6 cc3/min,  σ = 4.6 cc3/min, n = 1,

1. cuando menos en 44.5 cc3/min:

[pic 29]

[pic 30]

1. cuando mucho en 35.0 cc3/min:

[pic 31]

[pic 32]

1. entre 30.0 y 40.0 cc3/min:

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

1. entre 25.0 y 35.0 cc3/min:

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[pic 38]

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e) entre 39.0 y 42.0 cc por minuto.

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Ejercicio 4. 1

1. Una institución bancaria calcula que sus cuentas de ahorros individuales están normalmente distribuidas con una media de $2,000 y una desviación estándar de $600. Si el banco toma una muestra aleatoria de 100 cuentas, ¿cuál es la probabilidad de que la media de muestra caiga entre $1,900 y $2,050?
2. En una oposición en la que participan miles de candidatos se hizo un examen tipo test. Las calificaciones se distribuyeron normalmente con media µ=72 puntos y desviación típica σ=10.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un opositor elegido al azar obtenga a lo más 76 puntos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 64 opositores obtenga un promedio superior a 76 puntos?

1. Para cierto trabajo se especifica que se deben emplear arandelas con un diámetro interior de 0.25±0.005 pulgadas. Si los diámetros interiores de las arandelas hechas por ciertos fabricantes se distribuyen normalmente con μ=0.251 y σ=0.003 ¿qué porcentaje de estas arandelas cubren las especificaciones?
2. Una compañía fabrica focos con una vida media de 500 horas y desviación estándar de 100; se supone que los tiempos de vida útil de los focos se distribuyen normalmente, esto es que los tiempos de vida forman una distribución normal, encuentra el número de focos de un total de 10 000 que pueden esperarse duren entre 650 y 780 horas.
3. Las estaturas de los hombres adultos se distribuyen normalmente con una media de 70 pulgadas y una desviación estándar de 2.6 ¿Qué tan alta debe ser una puerta que se va a construir si se quiere el 90% de los hombres pasen por ella sin tener que agacharse?
4. En una distribución normal con media de 375 y desviación estándar de 48, ¿qué tan grande se debe tomar una muestra para que la probabilidad sea al menos de 0.95 de que la media de la muestra caiga entre 370 y 380?
5. Mary Bartel, una auditora de una gran compañía de tarjetas de crédito sabe que, en promedio, el balance mensual de cualquier cliente es de $112, con una desviación estándar de $56. Si Mary hace una auditoría a 50 cuentas seleccionadas aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que el balance mensual promedio esté

a) por debajo de $100?                b) entre $100 y $130?

1. Al revisar las ventas habidas desde la apertura de un restaurante hace seis meses, el dueño encontró que la cuenta promedio por pareja era de $26, con una desviación estándar de $5.65. ¿Qué tan grande tendría que ser una muestra de clientes para que la probabilidad fuera de al menos 95.44% de que el costo medio por comida para la muestra cayera entre $25 y $27?
2. En el último año, el peso de los recién nacidos en una maternidad se ha distribuido según una ley normal de parámetros µ=3100 gramos y [pic 47]= 150 gramos.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese más de 3.130 gramos?
2. ¿Qué distribución seguirán las muestras de tamaño 100 de recién nacidos?
3. ¿Cuál será la probabilidad de que la media de una muestra de tamaño 100 sea superior a 3.130 gramos?

1. Si la estatura media de las alumnas de bachillerato es 165 cm, con desviación típica 8 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 36 alumnas tenga una media superior a 167 cm? ¿Y de que una muestra de 64 alumnas supere esa misma medida?

En las unidades anteriores se manejó el uso de la distribución Z, la cual se podía utilizar siempre y cuando los tamaños de las muestras fueran mayores o iguales a 30 ó en muestras más pequeñas si la distribución o las distribuciones de donde proviene la muestra o las muestras son normales.

En esta sección se podrán utilizar muestras pequeñas siempre y cuando la distribución de donde proviene la muestra tenga un comportamiento normal. Esta es una condición para utilizar las tres distribuciones que se manejarán en esta unidad; t de student, X2 ji-cuadrada y Fisher.

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