DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS
algebradmEnsayo19 de Enero de 2021
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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
UNIDAD V DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS
DISTRIBUCIÓN NORMAL. Características:
La función que define esta distribución es:
[pic 1]
- ∞< x < ∞
[pic 2]
Dónde: μ (mu) → media
σ (sigma) → desviación estándar
σ2 → varianza.
= 3.1416 Constante[pic 3]
e = 2.7183 Constante
Al dar a la función los valores de μ , σ2 y valores a X, obtendremos una distribución en forma de campana, por lo que también se le conoce como campana de Gauss, La media μ mide la ubicación de la distribución y la desviación estándar σ mide su dispersión.
El área total bajo la curva es 1 y su función de densidad es simétrica.
La curva es asintótica toma cualquier valor (- ∞, +∞).
Son más probables los valores cercanos a media µ.
Al separarnos de la µ, la probabilidad decrece dependiendo de la desviación (σ).
μ ± σ, Aprox. 68.26% de los datos bajo la curva,
μ ± 2σ, Aprox. 95.44% de los datos bajo la curva
μ ± 3σ, Aprox. 99.74% de los datos bajo la curva
Esta característica es a la vez una forma empírica y rápida de demostrar si los datos que se analizan tienen una distribución Normal; ya que, para trabajar los datos con esta distribución, debe verificarse que efectivamente así se distribuyen, ya que, de no hacerlo, las decisiones que en un momento dado se tomarán de un análisis de los datos con la distribución Normal, serían erróneas.
¿Cómo se determinan probabilidades con la distribución Normal?
Lo más lógico es que la función f(x,μ, σ2), se integre entre los límites de la variable x:
[pic 4]
La integral dará el área bajo la curva de la función, desde a hasta b, que corresponde a la probabilidad buscada.
Debido a la dificultad que se presenta para integrar esta función cada vez que sea necesario, lo que se hace es tipificar el valor de la variable x (Cuando la media de la distribución es 0 y la varianza es 1 se denomina "normal tipificada), esto es, x se transforma en un valor de z.
Si la variable X es N (μ, σ), la variable tipificada de X es: Z[pic 5]
Y sigue también una distribución normal de μ = 0 y σ = 1, es decir N (0, 1)
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su función de densidad curva normal tipificada.
Característica de la distribución normal tipificada [pic 6]
No depende de ningún parámetro
Su media = 0, su varianza = 1 y su desviación = 1.
La curva f(x) es simétrica respecto del eje OY
Tiene un máximo en este eje
Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1
Este valor de z es buscado en una tabla de vienen áreas asociadas a este valor, y haciendo uso de los valores tabulados, se determina la probabilidad requerida.
[pic 7]
Ejemplo1: Estudios de recubrimientos de mortero de tubería empleada en transmisión de agua se especifican un espesor de 7/16 pulgadas. Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y una desviación estándar de 0.082 pulgadas. [pic 8]
Sí las mediciones de espesor, tenían una distribución Normal, ¿qué porcentaje aproximado fue inferior a 7/16 de pulgada?
x = espesor del mortero en pulgadas μ = 0.635 pulgadas σ = 0.082 pulgadas
P (x < 7/16 pulgadas) Z =Z = = = -2.41 P(z=-2.41)= 0.008[pic 9][pic 10][pic 11]
0.8% de los recubrimientos tienen un espesor menor de 7/16 pulgadas
Ejemplo2: Una lámpara tiene una duración media de 7,000 horas y una desviación estándar de 1,000 horas. Un competidor ha inventado un sistema de iluminación fluorescente que tiene una duración media de 7,500 horas y una desviación estándar de 1,200 horas. Determine qué tipo de iluminación tiene mayor probabilidad de:
a) durar más de 9,000 horas b) durar menos de 5,000 horas
Tubo 1 X1 = duración de una lámpara μ = 7,000 horas σ = 1,000 horas
Tubo 2 X2 = duración sistema fluorescente μ = 7,500 horas σ = 1,200 horas
[pic 12][pic 13]
- µ = 7000; σ = 1000; X = 9000.
Z1 = 2 → P (Z1 = 2) = 0 .9772 [pic 14]
p(x1 > 9,000 horas) = 1.0 – p (z1 = 2.00) = 1.0 – 0.9772 = 0.0228
[pic 15][pic 16]
- µ = 7500; σ = 1200; X = 9000
Z2 = 1.25 → P (z2 = 1.25) = 0.8944[pic 17]
p(x2 > 9,000 horas) = 1 – p (z2 = 1.25) = 1 – 0.8944 = 0.1056
El sistema fluorescente tiene mayor probabilidad de durar más de 9,000 horas.
b).
[pic 18]
Z1 =2.0 P (z1 = -2.00) = 0.0228 [pic 19]
p(x1 < 5,000 horas) = 0.0228 = 2.28%
Z2 =-2.08 P (z2 = -2.08) = 0.0188[pic 21][pic 20]
p(x2 < 5,000 horas) = 0.0188 = 1.88%
El tubo fluorescente que tiene una mayor probabilidad de durar menos de 5,000 horas es el del primer fabricante.
Ejemplo3: Una compañía de comunicación por cable ha determinado que el número de terminales solicitados tiene una distribución Normal, con una media de 200 y una desviación estándar de 50.
X = variable que indica el número de interruptores por día
μ = 200 interruptores/día
σ = 50 interruptores/día
a) ¿En qué porcentaje de los días la demanda será menor de 90 terminales[pic 22]
Z = -2.20; P (z = - 2.20) = 0.0139 [pic 23][pic 24]
90 200
1.39% de los días se tendrá una demanda menor de 90 terminales
b) ¿En qué porcentaje de los días la demanda estará entre 225 y 275 terminales?[pic 25]
[pic 26]
Z1 0.50 P (z1= 0.50) = 0.6915 [pic 27]
Z2 1.5 P (z2 = 1.50) = 0.9332 [pic 28]
P (225≤ x ≤275) = p (z2) – p (z1) 200 225 275
= 0.9332 – 0.6915 = 0.2417
24.17% de los días se tendrá una demanda entre 225 y 275 terminales
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