Deducir las ecuaciones de movimiento del sistema a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange.

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Deducir las ecuaciones de movimiento del sistema a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange

Se considera una partícula de masa [pic 3][pic 4] limitada a moverse sobre la superficie de un cono de semiángulo [pic 5][pic 6] y sometida a la acción de la gravedad. El eje del cono se encuentra sobre el eje [pic 7][pic 8] y su vértice coincide con el origen, tal como se representa en la figura 1. La partícula está forzada a permanecer en la superficie del cono por medio de una fuerza de vínculo [pic 9][pic 10] normal a la superficie.

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Figura 1: Partícula sobre un cono

La primera pregunta que surge para la evaluación de este problema es, ¿cómo describir la posición de la partícula [pic 12][pic 13]? La respuesta a esta pregunta es respondida fácilmente a partir de la formación de Física Vectorial que nos ha dado la Facultad de Ingeniería a lo largo de los primeros años de la carrera.

La posición de una partícula en un instante de tiempo [pic 14][pic 15]  se describirá por un vector [pic 16][pic 17] que va del origen de coordenadas al punto que ocupa la partícula en dicho instante. Se desea asignar al vector posición un conjunto de medidas que lo caracterizan únicamente. Una forma sencilla de conseguir este objetivo es definiendo un sistema de ejes cartesianos rectangulares.

Sean [pic 18][pic 19]  los vectores de la base ortonormal directa asociada a dichos ejes. El vector posición puede describirse por sus componentes en dicha base, que de acuerdo a la regla de suma vectorial cumplirá:

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Una descripción completa del movimiento de la partícula está contenida en la función [pic 21][pic 22] llamada ley horaria. A partir de ésta, siempre es posible determinar [pic 23][pic 24]  la trayectoria de la partícula. En efecto las componentes del vector posición [pic 25][pic 26]  son por sí mismos una descripción paramétrica de la curva seguida por la partícula.

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Figura 2: ejes cartesianos rectangulares.

Hasta aquí concluimos que el método más simple para localizar una partícula en el espacio es dar las componentes cartesianas del vector posición. Sin embargo, existen muchos problemas que debido a su geometría resulta más conveniente trabajar con sistemas de coordenadas no cartesianas. En este problema en particular de una partícula moviéndose sobre la superficie de un cono, lo más conveniente para describir la posición de la partícula es utilizar un sistema de coordenadas cilíndrico. Las coordenadas cilíndricas [pic 28][pic 29]  están definidas por las ecuaciones:

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Figura 3: coordenadas cilíndricas.

Le llamaremos [pic 34][pic 35]  al vector unitario en la dirección definida al incrementar [pic 36][pic 37]  y dejando [pic 38][pic 39] y [pic 40][pic 41]  fijos, [pic 42][pic 43]  al vector unitario de la dirección definida al incrementar [pic 44][pic 45] y dejando [pic 46][pic 47] y [pic 48][pic 49]  fijos, [pic 50][pic 51] al vector unitario incrementando [pic 52][pic 53] y dejando [pic 54][pic 55] y [pic 56][pic 57] fijos. Dichos vectores se pueden expresar en la base cartesiana realizando una descomposición de vectores:

[pic 58]

[pic 59]

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Se observa que la dirección de estos vectores varía con [pic 61][pic 62] , es decir:

[pic 63]

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La restricción correspondiente a que el movimiento de la partícula deba permanecer en el cono se escribe matemáticamente de la siguiente forma:

      [pic 65][pic 66]                                             (1)        

Siendo [pic 67][pic 68] la coordenada que representa la distancia vertical desde el origen de coordenadas hasta la altura de la partícula, y [pic 69][pic 70] la coordenada que representa la distancia horizontal desde el eje del cono hasta la partícula, tal como se puede observar en la figura 1.

Se conocen las condiciones iniciales del sistema y están dadas por:

[pic 71][pic 72]  y  [pic 73][pic 74]

[pic 75][pic 76] y  [pic 77][pic 78]

[pic 79][pic 80] y  [pic 81][pic 82]

Siendo [pic 83][pic 84] una notación de la derivada en el tiempo de [pic 85][pic 86]:  [pic 87][pic 88]

http://es.slideshare.net/apotecarius/ecuacin-de-eulerlagrange-deduccin-utilizando-clculo-bsico-1799399

https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/evelasco/docencia/HOJA3/sup3r/node7.html

https://es.wikipedia.org/wiki/Conservaci%C3%B3n_de_la_energ%C3%ADa

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