Determinación de la ley media: Método de la Ji-cuadrado

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

Facultad de Ingeniería

Escuela Profesional de Ingeniería de Minas

CURSO                :        Minería Superficial

TEMA                :        Determinación de la ley media: Método de la

Ji-cuadrado

CICLO                :         VIII 

DOCENTE                :        Salcedo Rebaza, Wilmer Alejandro

ALUMNO                :        Arenaza Vásquez, Guillermo

León Portilla, Kevin

Rodríguez Alvarez, Diego André

Rojas Mendoza, Edgar

Terán Espinoza, Samuel

Cajamarca 2015

Método de la Ji- cuadrado

Este método constituye la única forma de testificar el carácter normal de una distribución con una determinada fiabilidad estadística. Es un método más complejo y costoso en tiempo que los anteriores, pero debe llevarse a cabo cuando la necesidad de conocer la normalidad de una distribución se hace imprescindible. En sí, el método consiste en establecer una serie de rebanadas para la distribución normal establecida estadísticamente y las mismas rebanadas para la distribución cuya justificación se quiere llevar a cabo, para, a continuación, comparara ambos grupos de rebanada y comprobar su parecido, comparación que se realiza con un estadístico definido como Ji- Cuadrado. Los pasos a seguir para este proceso serían los siguientes.

1. Se calcula la media aritmética y la desviación estándar del conjunto de datos.

1. Se tipifican los valores, es decir, a cada valor se le resta la media y se divide este resultado por la desviación estándar, con lo que los datos anteriores se convierten en un grupo de valores que oscilan, en su mayor parte alrededor de -3 y +3. El valor cero correspondería, por definición, a la media aritmética.

1.  Se establece un número de intervalos (correspondiente a las rebanadas citadas anteriormente) en los que se calcula la frecuencia relativa para los datos estudiados. El número de intervalos es libre, siendo seis (tres valores de la desviación estándar a cada lado de la media) un valor aceptable.

1. Se construye una tabla con las frecuencias obtenidas (las calculadas en el paso anterior) y las esperadas, estas últimas correspondientes a las que serían de esperar si se tratase de una distribución normal definida matemáticamente (tabla 1.1).

1. Se calcula el estadístico Ji- cuadrado (), definido como:[pic 1]

[pic 2]

Dónde:

 Estadístico Ji- cuadrado.[pic 3]

 Frecuencias esperadas.[pic 4]

 Frecuencias obtenidas.[pic 5]

Este estadístico representaría la medida de la discrepancia entre ambas distribuciones (la que se estudia y la normal).

1. Por último, se compara el valor de la Ji –cuadrado con otro obtenido en la tabla de este estadístico (tabla 1.2), que se calcula entrando por dos valores: a) el número de grados de libertad, que se define como el número de intervalos establecidos menos el valor 3 y b) el nivel de significancia, que se define como la probabilidad máxima de cometer un error cuando se rechaza una hipótesis que debería ser aceptada. Si el valor de la Ji- cuadrado es menor que el valor de tabla, se puede asumir, entonces, que el conjunto de datos estudiado se ajusta a una distribución normal. Hay que hacer constar que, en estadística, esta aseveración no es correcta, es decir, nunca se puede llegar a afirmar que un conjunto de datos es una distribución normal. De forma estricta, en estadística se plantea la hipótesis nula: no se ajusta a una distribución normal, para, a continuación, rechazar la hipótesis nula: No hay razones para rechazar la hipótesis nula. Aunque a efectos prácticos, lo que interesa es saber si un conjunto de datos puede ser tratado como si fuese una distribución normal, es importante siempre tener en cuenta esta matización de carácter estadístico.

Ejemplo: Sean los valores mostrados a continuación las Leyes en Zn (%) de 33 muestras tomadas en un yacimiento estratiforme de Pb- Zn. Comprobar, a través de los métodos descritos anteriormente, si dichos valores se ajustan a una distribución normal.

6,4    5,4    4,7    8,2    6,8    6,2    6,3    3,9    6,2

7,1    4,9    5,7    6,1    6,2    7,4    7,5    6,1    5,6

5,4    7,5    5,8    2,8    5,9    9,1    7,3    3,3    5,1

5,9    5,8    5,8    4.6    4,9    6,2

Solución.  En primer lugar, para la construcción del histograma de frecuencias se definen intervalos. Puesto que las leyes oscilan, aproximadamente,   entre el 2% y el 10%, se pueden establecer 8 intervalos,   de uno en uno por ciento.  Con ello, las frecuencias absolutas obtener el histograma serían:

                                        2% - 3% = 1

                                        3% - 4% = 2

                                        4% - 5% = 4

                                        5% - 6% = 10

                                        6% - 7% = 9

                                        7% - 8% = 5

                                        8% - 9% = 1

                                        9% - 10% = 1

En la Figura 1.3 se puede observar el histograma de frecuencias correspondiente. A su vez en la Figura 1.4 se muestra el conjunto de datos representados en escala probabilística ambas figuras se pone de manifiesto que no se comete un error excesivo si se considera población como una distribución normal.

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