Diseño de controladores PI & PID

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Abstract— El artículo presente tratará sobre el diseño de controladores apoyados en la técnica de la asignación de polos. Para el diseño de estos se parte del modelo matemático como una Función de Transferencia que representa la dinámica de la planta que, para el desarrollo fue obtenida con anterioridad; el controlador se empieza a definir cuándo se especifica la respuesta deseada del sistema, con unos valores de error en estado estable, sobre nivel porcentual y tiempo de estabilización definidos. En el diseño por asignación de polos se ponen todos los polos de lazo cerrado en las posiciones que se deseen; en este, los polos están ubicados de manera que la respuesta en el tiempo del sistema sea la deseada en las especificaciones de diseño.

Con el uso de esta técnica se implementará entonces el desarrollo de un controlador PI para un modelo de primer orden y un controlador PID para un modelo de segundo orden.

Keywords—Controlador, polos, Función de transferencia, error en estado estable, sobre nivel porcentual, tiempo de estabilización, lazo cerrado, frecuencia natural, frecuencia normalizada, relación de amortiguación, PI, PID.

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I. INTRODUCCIÓN

Para algunos procesos industriales, se requieren sistemas de control que cada día sean más precisos, en un sistema de control automático, se implementa un controlador capaz de reducir el error en estado estable a un valor aceptable en la salida, el diseño de estos controladores está estrechamente relacionado con el proceso que se requiere controlar, donde se deben tener en cuenta las perturbaciones en el sistema.

En la realidad los controladores siempre actúan en combinación con reguladores de una acción proporcional, complementándose los dos tipos de reguladores, primero entra en acción el regulador proporcional (instantáneamente) mientras que el integral actúa durante un intervalo de tiempo.

La Función de transferencia del bloque de control PI responde a la ecuación[pic 4][pic 5]

Donde Kc y Ti son parámetros que se pueden modificar según las necesidades del sistema. Cabe tomar en cuenta que Ti es inversamente proporcional al efecto integral.

Por lo tanto, la respuesta de un regulador PI será la suma de las respuestas debidas a un control proporcional P, que será instantánea a detección de la señal de error, y con un cierto retardo entrará en acción el control integral I, que será el encargado de anular totalmente la señal de error, esto se detalla en la fig. 1.1.[pic 6]

El controlador PID es un sistema de regulación que trata de aprovechar las ventajas de cada uno de los controladores de acciones básicas, de manera, que, si la señal de error varía lentamente en el tiempo, predomina la acción proporcional e integral y, mientras que, si la señal de error varía rápidamente, predomina la acción derivativa. Tiene la ventaja de ofrecer una respuesta muy rápida y una compensación de la señal de error inmediata en el caso de perturbaciones. Presenta el inconveniente de que este sistema es muy propenso a oscilar y los ajustes de los parámetros son mucho más difíciles de realizar.[pic 7]

La salida del regulador viene dada por la siguiente ecuación[pic 8]

que, en el dominio de Laplace, será:[pic 9][pic 10]

Y por tanto la función de transferencia del bloque de control PID será:

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La respuesta temporal de un regulador PID sería la mostrada en la fig. 1.2.

II. PROCEDIMIENTO PARA EL DISEÑO DE LOS CONTROLADORES[pic 12]

A. Controlador PI

En este controlador se emplean dos parámetros, uno proporcional y otro integrativo.

Se parte de la conexión en red cerrada del diagrama de bloques del sistema, tal como el de la fig. 2.1.[pic 13]

El cual está conformado por un bloque correspondiente a la planta y otro al controlador, y sus respectivas funciones de transferencia; para luego hallar la función de transferencia del sistema completo y posteriormente calcular los parámetros PI, de acuerdo a unas especificaciones y requerimientos de diseño dados.

Para poder diseñar entonces el controlador, identificado en el diagrama de bloques de la fig. 2.1 como Gc(s), se debe conocer la función de transferencia de la planta, identificada con Gp(s). En este caso se diseña un controlador PI para procesos de primer orden; para este proceso se obtuvieron varios modelos, tanto de primer como de segundo orden, de esos modelos se eligió uno de cada orden. El modelo seleccionado en este caso fue el obtenido mediante el método de Alfaro, con el cual resultó la siguiente función de transferencia:

Dado que el tiempo muerto, tm que se obtuvo para este modelo es mucho menor que el 10% de la constante de tiempo del modelo, τ (351.3), este se puede despreciar para el diseño del controlador, por lo tanto, el modelo que regirá la planta será:

Se tiene entonces que, para el SC mostrado en la fig. 2.1 la función de transferencia de red cerrada, con retroalimentación unitaria, viene dada por:

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Donde Gc(s) es la función de transferencia del controlador, dada por (1) y Gp(s) la del proceso, dada por (6). Puede comprobarse que, al efectuar las operaciones respectivas, el polinomio F(s) es:

El cual puede reescribirse de la forma:

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El denominador DT(s) se llamará a partir de ahora el denominador deseado, y se expresará con Dd(s), dicho polinomio debe ser igual al polinomio F(s).

Dado que estamos interesados en las diferentes características de la respuesta en el tiempo del proceso, puede asociarse entonces a dicho proceso con la siguiente función transferencia:

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Se ve que el denominador de tal función es:[pic 17]

Donde aparecen los parámetros  que están relacionados directamente con la respuesta en el tiempo, y reciben los nombres de [pic 18]

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