ESTADÍSTICA PARA LA GESTIÓN

                                                   Proyecto Final

Mónica Valenzuela V.

ESTADÍSTICA PARA LA GESTIÓN

Instituto IACC

22 de octubre de 2018

                                 INSTRUCCIONES:

Indicador 1: Interpretan la ocurrencia de sucesos usando distribución binomial y geométrica.  

Ejercicio 1 El último producto de una fábrica de galletas ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los clientes ya lo han probado. Un grupo de 4 amigas le encantan las galletas:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan probado las galletas 2 personas?  

X= “nº de personas que le encantan las galletas”;        n = 4                p = 0.8                q = 0.2                =>        X~B (4, 0.2)

La función de probabilidad de la distribución binominal se expresa con la fórmula:

[pic 1]

[pic 2]

Lo que expresado como porcentaje nos dice que hay 15,36 % de posibilidades de que, entre las 4 amigas, 2 hayan probado las galletas.

b) ¿Y cómo máximo 2?

[pic 3]

[pic 4]

Expresado en porcentaje, significa que hay 18,08 % de probabilidad que le hayan gustado las galletas como máximo por 2 de las 4 amigas (pueden ser 0, 1 o 2).

Ejercicio 2: En una población de consumidores de bebidas gaseosas, se estima que el 70% prefiere la bebida A. ¿Cuál es la probabilidad que al entrevistar a un grupo de consumidores:

(Definiendo la variable X como sigue: “cantidad de ´personas que se va a entrevistar aleatoriamente hasta obtener el primer consumidor que prefiera la bebida A”)

Solución:

El primer punto debemos definir la variable.

Segundo punto, clasificaremos el modelo. Resultado que x cumple con una variable geométrica con:

P = 0,70

q = 0,30

Y como último paso aplicaremos la fórmula:

 Fórmula general [pic 5][pic 6][pic 7]

1. Sea necesario entrevistar exactamente 4 personas para encontrar el primer consumidor que prefiere la gaseosa A.

[pic 8]Y que:

[pic 9]

Expresado en porcentaje, significa que hay 18,9 % de probabilidad que sea necesario de entrevistar a 4 personas para encontrar al primer consumidor que prefiere la gaseosa A.

1. Se tenga que entrevistar a lo más 6 personas para encontrar el primer consumidor que prefiere la bebida A.

[pic 10]Y que:

Aplicando la fórmula [pic 11]

 [pic 12]

 Expresado en porcentaje, significa que hay 24,3% de probabilidad que sea necesario de entrevistar a 6 personas para encontrar al primer consumidor que prefiere la gaseosa A.    

Indicador 2: Determinan la probabilidad de ocurrencia de sucesos usando distribución exponencial y normal.

Ejercicio 3 El tiempo de vida media de un medicamento en el organismo sigue una distribución exponencial con una media de 16 horas. Se pide encontrar la probabilidad de que a una persona a la que está en tratamiento con dicho medicamento deba de ingerir otro antes de 20 horas.

 Solución:

Realizamos una recopilación de datos que nos ofrece el problema:

· X ≡ 'Tiempo de vida media de un medicamento.

· La variable X se distribuye de forma exponencial: X ~ exp (16) años.

Pasamos a resolver los apartados ofrecidos por el enunciado del problema.

Apartado: debemos obtener la siguiente probabilidad:

P(X < .20)

Para resolverlo, emplearemos la distribución acumulada sabiendo que la función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial es:

 [pic 13]

Siendo:

· β = 16.

Y que la relación entre función de densidad de probabilidad y función de distribución acumulada es:

[pic 14]

Por lo tanto:

[pic 15]

Realizamos el siguiente cambio de variable:

· t = -x/16

· dt = -dx/16

Sustituimos:

[pic 16]

Deshacemos el cambio de variable:

· t = -x/16

Sustituimos y obtenemos la solución:

P (X < .20) = -e-x/16|200 = -(e-20/16 - 1) = 1 - e-5/4 ≈ 0.713495

Por lo tanto, la probabilidad de que a una persona a la que está en tratamiento con dicho medicamento deba de ingerir otro antes de 20 horas., es aproximadamente de 71,35%.

Ejercicio 4 En una máquina productora de alimentos se estima que la temperatura máxima que puede alcanzar el horno sigue una distribución normal, con media 23°C y desviación típica 5°C. Calcular el número de días del mes (de 30 días) en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

Solución: sabemos que = [pic 17]; como [pic 18] = 21 y [pic 19]= 27 entonces la P (x 1 ≤ X ≤ x 2); μ=23° y σ=5° se define como:

[pic 20][pic 21]≤ x [pic 22]≤[pic 23]

           [pic 24]≤ x ≤ 27) = [pic 25]≤ z ≤ [pic 26]≤ z ≤ 0,8)=

[pic 27]≤[pic 28]

= [pic 29]z≤ 0,8)+[pic 30]z≤0,4)-1=0,7881+0,6554-1=0,4435

[pic 31] (Es decir 13 días).

Podemos decir que se espera alcanzar la máxima entre 21° y 27°, en un número de 13 días.

Indicador 3: Calculan la probabilidad para medias muéstrales.  

 Ejercicio 5 La distribución de la temperatura máxima en cierta ciudad del Caribe tiene una media anual de 33°C con una de desviación típica 0,85 °C. Se elige una muestra de 105 días y se pide calcular la probabilidad de que la temperatura media sea menor de 32,9 °C.

(La distribución muestral de 𝑥̅ es normal con media μ = 33 y σ = 0,85)

 (Dadas las condiciones del problema se aplica el teorema del límite central)

Solución:

  Al ser n=105, consideramos que la variable aleatoria media muestral normal es:

La variable aleatoria [pic 32] se distribuye como una N[pic 33]= =N[pic 34](33, 0,083)

Por lo tanto:   [pic 35]

[pic 36]

La probabilidad que la temperatura media sea menor de 32,9°C es de 11,15. %

Indicador 4: Estiman la probabilidad usando estimadores puntuales y por intervalos.  

Ejercicio 6 Se ha realizado un estudio estadístico sobre el peso, en gramos, y el sexo de los gatos recién nacido durante seis meses. El peso de 15 de ellos es: 118 115 110 127 113 154 110 123 118 115 129 119 128 116 125 Además, 7 de esos gatos son machos. Determina un estimador puntual para:

1. El peso medio de la población.

Solución:

Aplicando la fórmula: de la media x (o media aritmética), La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

[pic 37]

Es decir:

[pic 38]

...