Ecuaciones diferenciales.

1. Introducción

En las ciencias y en la ingeniería se desarrollan modelos matemáticos para entender mejor los fenómenos físicos. A menudo, estos modelos conducen a una ecuación que contiene algunas derivadas de una función desconocida. Esta ecuación se denomina ecuación diferencial.

        Para entender mejor esta definición veremos una serie de problemas donde se aplican las ecuaciones diferenciales. En este primer ejemplo se puede ver como en la física son utilizadas frecuentemente.  Este primer ejemplo es muy simple pero me parece muy adecuado ya que es parte de la introducción de este trabajo.

1)Ejemplos aplicados a la fisica

1.1) Primer ejemplo aplicado a la física: Un objeto de masa m se deja caer desde una altura h y cae por la fuerza de gravedad.  Determinar la ecuación diferencial que describe la trayectoria del objeto.

[pic 1]

Aplicamos a la pelota que cae la segunda ley de Newton, la cual indica como bien sabemos que la masa del objeto por su aceleración es igual a la fuerza total que actúa sobre el:

[pic 2]

Esta es una ecuación diferencial que contiene la segunda derivada de la altura desconocida y como función del tiempo. Al hacer    , se obtiene la ecuación diferencial de primer orden en la incógnita v:[pic 3]

[pic 4]

1.  Segundo ejemplo aplicado a la física: Se puede obtener la ecuación diferencial para el  siguiente circuito LRC:[pic 5]

Según la ley de Kirchhoff la suma algebraica de los cambios instantáneos del potencial en torno a cualquier lazo cerrado debe ser igual a cero.

Er=Ri; EL=L  ; Ec=q[pic 6][pic 7]

Er + EL  + Ec   = E (t)

Por lo tanto sustituimos para obtener la siguiente ecuación:

Ri + L+ q = E (t)[pic 8][pic 9]

La corriente es la razón de cambio instantánea de la carga, es decir i = . Por lo tanto podemos expresar:[pic 10]

[pic 11]

En la mayor parte de las aplicaciones interesa determinar la corriente i (t). Al derivar:

Ri + L+ q = E (t)[pic 12][pic 13]

Con respecto a t, suponiendo que E es diferenciable, y sustituyendo i en lugar de , se obtiene la ecuación diferencial:[pic 14]

[pic 15]

2) Ejemplos aplicados a la economía

2.1)  La variación del costo en relación a las unidades producidas es igual al cociente entre el coto y las unidades vendidas, más 30. Determinar la función del costo si una unidad producida produce un costo de 30 unidades monetarias. 

y: costo (unidades monetarias) 
x: unidades vendidas (unidades). 
dy/dx:  será la variación del costo con respecto a las unidades producidas. 

dy/dx = y/(x + 30) 
dy/y = dx/(x + 30) 

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