Elipse: Ecuación general, canónica y ordinaria

Elipse

NOMBRE: Tabita Arteaga M.

                      María Francisca Aparicio

                      Dadna González J.

                      Felipe Muñoz V.    

CARRERA: Administración de Empresas

ASIGNATURA: Matemáticas

PROFESOR: Benito Fernando Lizama F.

FECHA:27-05-2019

Introducción

Definición de una Elipse

“Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos” (Lehmann, 1989)

“Una elipse es el conjunto de todos los puntos del plano cuya suma de distancias desde dos puntos fijos F1 y F2 es una constante. (Ver Figura 1) Estos dos puntos fijos son los focos de la elipse.” (Stewart, 2012)

[pic 3][pic 4]

Elementos de una Elipse

[pic 5][pic 6]

• Focos: Corresponden a los puntos fijos F1 y F2.
• Vértices: Son los puntos resultantes de la intersección de la elipse con la recta que pasa por los focos (F1 y F2), y es perpendicular que pasa por el centro. Es decir, los puntos A, B, C y D.
• Centro: Es el punto de intersección de los ejes, es decir, el punto medio de los dos focos.
• Distancia focal: Es la distancia entre los focos, y corresponde al segmento de longitud 2x, en donde x es el valor de la semi-distancia focal.
• Longitud eje Mayor: Es el segmento, trazo AB.
• Longitud eje Menor: Es el segmento, trazo CD.
• Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

Ecuación de la Elipse con centro en el origen

• Ecuación de la Elipse de forma horizontal

[pic 7]

• Ecuación de la Elipse de forma vertical[pic 14]

Encontrar la ecuación canónica de la Elipse con centro en el origen, que tiene vértices en (0, 12) y    (0, -12) y focos en (0, 4) y (0, -4).        

Solución:

Utilizando la fórmula general a2 = b2+c2   se determina que:

La distancia del centro a los vértices se le llama (a) y es a=12

La distancia del centro a los focos se le llama (c) y es c=4

La distancia del centro a los vértices laterales se le llama (b) y no la conocemos.

Podemos hallar (b) despejando:

[pic 21]

[pic 22]

Como los focos son (0, 4), (0, -4), sabemos que el eje mayor es vertical y horizontal el menor. Por lo tanto, se trata de una elipse vertical.

Ahora la fórmula canónica de la elipse vertical centrada en el origen es:

[pic 23]

Reemplazando:

[pic 24]

Obtenemos la ecuación canónica:

[pic 25]

Gráfico

[pic 26]

Ecuación ordinaria o fuera de origen de una elipse con centro en (h, k)

Si el eje focal es horizontal la ecuación ordinaria es:

[pic 27]

Si el eje focal es vertical la ecuación ordinaria es:

[pic 28]

Ecuación General:

Efectuando un proceso algebraico en el que eliminamos los denominadores, desarrollamos los binomios al cuadrado, agrupamos términos semejantes e igualamos a cero, obtenemos:

Si el eje focal es horizontal:

[pic 29]

Si el eje focal es vertical:

[pic 30]

De lo anterior se puede concluir que la ecuación de una elipse con centro en un punto cualquiera y ejes paralelos a los coordenados, siempre puede expresarse en la forma general:

[pic 31]

Hallar la ecuación principal o ordinaria de la ecuación general de la elipse 4x² + 9y² -16x +18y -11 = 0

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