Estadísticas. Espacio Muestral

Espacio Muestral___________________________________________________

Población.- El número de elementos o sujetos que componen una población estadística es igual o mayor que el número de elementos que se obtienen de ella en una muestra (n).

Espacio muestral.-Es el conjunto de todos los posibles resultados de un proceso o experimento, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).

Ejemplos.

1.-Espacio muestral de una moneda:

E = {C, X}.

2.-Espacio muestral de un dado:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Experimentos y eventos_____________________________________________

Experimento.- Se llama experimento o fenómeno aleatorio a aquél que es susceptible de dar varios resultados, no pudiéndose predecir de antemano cuál de ellos va a producirse en una experiencia concreta. Estos son los que dan origen al espacio muestral.

Ejemplos.

1.- Medir con la misma regla e idénticas condiciones la longitud de una barra Aleatorio No se obtienen siempre los mismos resultados.

2.- El lanzamiento de una moneda observando la sucesión de caras y cruces que se presentan.

Eventos.- Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral.

Ejemplos:

1.-en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}

2. Obtener un número primo y par B = {2}

3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}

2.- E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}

1. Salir múltiplo de 5: A={5,10,15}

2. Salir número primo: C={2,3,5,7,11,13,17}

3. Salir mayor o igual que 12: D={12,13,14,15,16,17,18}

Eventos mutuamente excluyentes.- Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía.

Ejemplos:

1.- En el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son mutuamente excluyentes por cuanto

B C =

2.- Lanzar una moneda.

E = {águila, sol}

El = {águila}

E2 = {sol}

E3 = {águila, sol}

E1 y E2 son mutuamente excluyentes porque E1 E2 =

Eventos Complementarios.- Si A B = y A B = E, se dice que A y B son eventos complementarios: Ac = B y Bc = A

Ejemplos.-

1.- Sacar un número par o impar cuando se lanza un cubo numerado.

P(evento1) + P(evento2) = 1

2.-

Principio fundamental del conteo_____________________________________

Si un suceso A presenta n1 maneras diferentes y una vez este suceso ha ocurrido un segundo suceso B se puede presentar en n2 maneras diferentes y así cuando ha ocurrido este, sucede un tercer suceso C que se puede presentar en n3 maneras diferentes y así diferentes sucesos en nk formas, entonces el número total de maneras diferentes como pueden darse simultáneamente los sucesos es:

n1*n2*n3*........*nk

Ejemplo.-

1.-El helado puede venir en un cono o una tasa y los sabores son chocolate, fresa y vainilla.

tasa de chocolate

chocolate

cono de chocolate

tasa de fresa

fresa

cono de fresa

tasa de vainilla

vainilla

cono de vainilla

2.- Max diseñó la carátula de un libro cuyo título puede ser azul o rojo. El fondo puede ser amarillo, verde, naranja o violeta. ¿Cuántas combinaciones se pueden hacer para la carátula?

Análisis combinatorio_______________________________________________

Notación factorial.- En matemáticas empleamos frecuentemente el producto de los enteros positivos desde 1 hasta n esta operación la determina por el símbolo que se lee por el factorial es importante definir que 0 factorial es igual a 1 (0=1)

Ejemplos.-

7! =7*6*5*4*3*2*1=5040

7!=7*6*5!

9! = 9*8*5! = 72

7! 7!

Análisis combinatorio.- En ocasiones el trabajo de enumerar los posibles sucesos que ocurren en una situación dada se convierte en algo difícil de lograr o, simplemente, tedioso. El análisis combinatorio, o cálculo combinatorio, permite enumerar tales casos o sucesos y así obtener la probabilidad de eventos más complejos.

En el caso de que existan más de un suceso a observar, habría que contar el número de veces que pueden ocurrir todos los sucesos que se desean observar, para ello se utiliza el principio fundamental de conteo.

Ejemplos:

1.- Dada una caja con los siguientes focos: 2 de 25 vatios, 3 de 50 vatios y 4 de 10 vatios:

a) De cuantas maneras pueden escogerse 3 de ellos?

R: C(9,3) = 9!/(6!3!) = 84

b) Cuantas de estas selecciones de 3 incluirán a los dos de 25 vatios? ¿Cuantos no contendrán los de 25 vatios?

R: C(2,2)*C(7,1) = 7 (tomo 2 de 2 y 1 de los 7 que quedan)

c) Cuantas selecciones de 3 focos incluirán exactamente uno de cada uno de las potencias?

R: C(2,1)*C(3,1)*C(4,1) =2*3*4 = 24

2.- Cuantas manos de póker de 5 cartas consisten de:

a) 2 pares (2 cartas iguales)?

R= De trece posibilidades (1-10 JQK) Elijo 2, hay 4 cada una y la que sobra es distinta.

R= C(13,2) * C(4,2) * C(4,2) * C(52-8,1)

b) 4 de la misma clase (iguales)?

C(13,1) * C(4,4) * C(52-4,1)

c) full (3 cartas de la misma denominación y dos de otra)?

R=Elijo un número y tomo tres, de los que quedan (12) tomo 2

13 * C(4,3) * 12 * C(4,2)

Permutaciones.- Se realizan ordenaciones de r objetos de n dados atendiendo a la situación de cada objeto en la ordenación. Su representación será:

Pnr ó nPr.

En general, si se toman r objetos de un total de n, la cantidad de permutaciones

Pnr = nPr =

Ejemplos:

1.- ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

m = 5 n = 5

• Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

• Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

• No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

2.- Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9

• Sí entran todos los elementos.

• Sí importa el orden.

• Sí se repiten los elementos.

3.- ¿Cuántos

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