FONDO, FLUJO Y TIEMPO

347

C A P Í T U L O 8

Programación de metas

Los modelos de programación lineal que se presentaron en los capítulos anteriores se basan

en la optimización de una sola función objetivo. Hay casos en donde lo más adecuado es tener

varios objetivos (posiblemente opuestos). Por ejemplo, los políticos aspirantes pueden

prometer reducir la deuda nacional y, al mismo tiempo, ofrecer rebajas de impuesto sobre la

renta. En tales casos podrá ser imposible encontrar una solución única que optimice los objetivos

contrapuestos. En lugar de ello se podrá buscar una solución intermedia, o de compromiso

basada en la importancia relativa de cada objetivo.

Este capítulo presenta la técnica de programación de metas para resolver modelos con

varios objetivos. La idea principal es convertir los diversos objetivos originales en una sola

meta. El modelo resultante produce lo que se suele llamar solución eficiente, porque podrá

no ser óptima con respecto a todos los objetivos contrapuestos del problema.

8.1 UNA FORMULACIÓN DE PROGRAMACIÓN DE METAS

Ilustraremos con un ejemplo la idea de la programación de metas.

Ejemplo 8.1-1

Fairville es una ciudad pequeña con unos 20,000 habitantes. El consejo de la ciudad está en

vías de desarrollar una tabla equitativa de impuestos urbanos. La base impositiva anual para

la propiedad catastral es $550 millones. La bases impositivas anuales para alimentos y medicinas

es $35 millones, y para ventas en general es $55 millones. El consumo local anual de

gasolina se estima en 7.5 millones de galones. El consejo ciudadano desea establecer las tasas

de impuesto basándose en cuatro metas principales.

1. Los ingresos impositivos deben ser $16 millones, cuando menos, para satisfacer los compromisos

financieros municipales.

2. Los impuestos en alimentos y medicinas no pueden ser mayores que el 10% de todos los

impuestos recabados.

348 Capítulo 8 Programación de metas

3. Los impuestos por ventas en general no pueden ser mayores que el 20% de todos los

impuestos recabados.

4. El impuesto a la gasolina no puede ser mayor que 2 centavos por galón.

Sean las variables y las tasas impositivas (expresadas como proporciones de las

bases impositivas) para el catastro, alimento y medicinas y ventas en general; se define la variable

xg como el impuesto a la gasolina, en centavos por galón. Las metas del consejo municipal

se expresan entonces como sigue:

A continuación se simplifican las tres restricciones como sigue:

Cada una de las desigualdades del modelo representa una meta que el consejo municipal

desea satisfacer. Sin embargo, lo más que se puede hacer es buscar una solución de compromiso

entre estos planes contrapuestos.

La forma en que la programación de metas determina una solución de compromiso es

convirtiendo cada desigualdad en una meta flexible, en la que la restricción correspondiente

puede violarse si es necesario. En el modelo de Fairville, las metas flexibles se expresan como

sigue:

Las variables no negativas y , 2, 3, 4, se llaman variables de desviación, porque

representan las desviaciones arriba y abajo respecto al lado derecho de la restricción i.

Por definición, las variables y son dependientes y en consecuencia no pueden ser al

mismo tiempo variables básicas. Esto quiere decir que en cualquier iteración símplex, cuando

menos una de las dos variables de desviación puede asumir un valor positivo. Si la i-ésima

desigualdad original es del tipo y su , entonces se satisfará la i-ésima meta; en caso

contrario, si , la meta i no se satisfará. En esencia, la definición de y si permite satisfa-

- si

+ si

- 7 0

si

… + 7 0

si

- si

+

si

-si , i = 1

+

si

+, si

- Ú 0, i = 1, 2, 3, 4

xp, xf, xs, xg

Ú 0

110xp

+ 31.5xf

+ 5.5xs

+ .0075xg

+ s4

+ - s4

- = 2

110xp

+ 7xf

- 44xs

+ 0.015xg

+ s3

+ - s3

- = 0

55xp

- 31.5xf

+ 5.5xs

+ 0.0075xg

+ s2

+ - s2

- = 0

550xp

+ 35xf

+ 55xs

+ 0.075xg

+ s1

+ - s1

- = 16

xp, xf, xs, xg

Ú 0

110xp

+ 31.5xf

+ 5.5xs

+ .0075xg

… 2

110xp

+ 7xf

- 44xs

+ 0.015xg

Ú 0

55xp

- 31.5xf

+ 5.5xs

+ 0.0075xg

Ú 0

550xp

+ 35xf

+ 55xs

+ 0.075xg

Ú 16

xp, xf, xs, xg

Ú 0

xg

… 2 1Impuestos a la gasolina2

55xs

… 0.21550xp

+ 35xf

+ 55xs

+ 0.075xg2 1Impuestos a ventas en general2

35xf

… 0.11550xp

+ 35xf

+ 55xs

+ 0.075xg2 1Impuestos a alimentos y medicinas2

550xp

+ 35xf

+ 55xs

+ 0.075xg

Ú 16 1Impuestos recabados2

xp, xf xs

8.1 Una formulación de programación de metas 349

cer o violar la i-ésima meta cuando se desee. Ésta es la clase de flexibilidad que caracteriza a la

programación de metas cuando busca una solución de compromiso. Naturalmente, una buena

solución de compromiso trata de minimizar la cantidad por la cual se viola cada meta.

En el modelo de Fairville, como las tres primeras restricciones son del tipo y la cuarta

es , las variables de desviación y del problema representan las cantidades por

las que se violan las metas respectivas. Así, la solución de compromiso trata de satisfacer todo

lo posible los siguientes cuatro objetivos:

Esas funciones se minimizan sujetas a las ecuaciones de restricción del modelo.

¿Cómo se puede optimizar un modelo con varios objetivos y metas quizá conflictivas?

Para este fin se han desarrollado dos métodos: 1) el método de los factores de ponderación y

2) el método de jerarquías. Ambos se basan en convertir los diversos objetivos en una sola

función, como se detallará en la sección 8.2.

CONJUNTO DE PROBLEMAS 8.1A

1. Formule el problema sobre impuestos de Fairville, suponiendo que el consejo municipal especifica

una meta adicional G5, que indica que el impuesto a la gasolina sea cuando menos

...