Fundamentos de Algebra complejos
Enviado por jsmhit • 21 de Febrero de 2019 • Práctica o problema • 1.018 Palabras (5 Páginas) • 137 Visitas
Fundamentos de Algebra.
Números complejos.
Aprendimos que los números complejos contienen el número , este número no está contenido en los números reales pues no existe un número que cumpla .[pic 1][pic 2]
Para solventar este problema definimos el número complejo que cumple [pic 3][pic 4]
De esta manera definimos los números complejos como:
[pic 5]
Donde:
[pic 6]
[pic 7]
Entonces
Es un número real puro[pic 8]
Es un número imaginario puro.[pic 9]
Existen cuatro formas de representar a un número complejo, las cuales son:
- Forma de binomio
- Forma Diagrama de Argand
- Forma Polar o CIS
- Forma Exponencial
Forma de binomio
[pic 10]
Donde: [pic 11]
[pic 12]
Forma Diagrama de Argand
Ubicamos el número complejo en un plano cartesiano, tomando como eje “x” a los números reales, por lo que se conoce como plano real. Y al eje “y” a los números imaginarios, por lo que se conoce como el plano imaginario.
Figura 1. Se muestra en el diagrama de Argand el complejo[pic 13]
[pic 14]
En el eje de las “X” o plano complejo ubicamos la parte real del complejo, en este caso 8, en el eje de la “Y” ubicamos la parte imaginaria, es este caso 4.
Forma Polar o CIS
Para realizar esta representación es necesario calcular el modulo del complejo y el ángulo formado por la línea que une el origen con el punto que ubica al número complejo del diagrama de Argand, (se muestra en la figura 1)
Las ecuaciones que están en función de los valores a valor real y b valor imaginario
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
La forma de expresar el número complejo por medio de la forma polar o CIS es:
[pic 19]
Forma Exponencial
Se ocupa relación de Euler que se describirá más adelante para escribir el número complejo como:
[pic 20]
Note que se ocupa el modulo del número complejo y el argumento .[pic 21][pic 22]
Relación de Euler
Pera poder deducir esta relación es necesario que sepas desarrollar una expresión en series de potencias. (Revisa el tema series de potencias, encontraras como expresar una función en series de potencias, hay derivadas)
Sabemos que
[pic 23]
Si expandimos en series de potencias tenemos:[pic 24]
.[pic 25]
.[pic 26]
. (1)[pic 27]
De manera semejante tenemos que:
.[pic 28]
.[pic 29]
Si agrupamos las potencias pares y las potencias impares en (1) (hazlo), tenemos:
[pic 30]
Aquí solamente escribí como en las series de los números pares y los números impares y las agrupe, toma en cuenta que una de las series tiene el número complejo i, también tome nuevos índices en las sumatorias (k y l).
Con esto podemos escribir como sigue:
[pic 31]
Entonces
[pic 32]
Recordando las expresiones de y tenemos[pic 33][pic 34]
[pic 35]
Que se conoce como la relación de Euler
Operaciones con los números complejos
Al igual que hacemos con los números reales, se definen las operaciones:
Suma de complejos.
Sean y , números complejos[pic 36][pic 37]
Definimos la suma como:
[pic 38]
Considera que la suma algebraica considera también la resta:
[pic 39]
Es fácil recordar, cuando te decían perros con perros y gatos con gatos, no es la descripción correcta pero funciona.
Multiplicación de complejos.
Sean y , números complejos[pic 40][pic 41]
Se define la multiplicación como:
[pic 42]
Nota que realice el producto como te lo enseñaron en primaria.
Ahora simplificamos
[pic 43]
[pic 44]
Algo para que recuerden:
...