GEOMETRÍA PLANA

DESARROLLO DE LOS SUBTEMAS DE LA UNIDAD 8

UNIDAD 8

GEOMETRÍA PLANA

Objetivo

Aplicar conceptos y procedimientos geométricos para resolver situaciones prácticas relacionadas con el campo de la Ingeniería, mediante el aprendizaje significativo de teoremas y propiedades trigonométricas.

Introducción

La geometría es la rama de las matemáticas que estudia idealizaciones en dos y tres dimensiones: los puntos, las rectas, los planos y otros elementos conceptuales derivados de ellos, como polígonos o poliedros. En este capítulo vamos a tratar solamente lo relacionado al plano, lo cual implica trabajar en dos dimensiones.

Subtema:

8.1 Ángulos

CONTENIDOS DEL SUBTEMA

Opuestos por el vértice, alternos internos, alternos externos, correspondientes y Teorema de Thales.

Al intersecar dos rectas en el plano se forman cuatro ángulos. De ellos, son ángulos opuestos por el vértice aquellos que poseen sólo el vértice en común y no son consecutivos.

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Figura 8.1

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Se denominan ángulos alternos externos a los ángulos que están ubicados externamente con respecto a las rectas L1 y L2, y en distintos semiplanos determinados por la recta secante L3. De esta manera, son alternos externos los pares de ángulos 1−7 y 2−8.

Se denominan ángulos alternos internos a los ángulos que están ubicados internamente con respecto a las rectas L1 y L2, y en distintos semiplanos determinados por la recta secante L3. De esta manera, son alternos internos los pares de ángulos 3−5 y 4−6.

Se denominan ángulos correspondientes a los ángulos no consecutivos que están en el mismo semiplano determinado por la recta secante L3. Uno de los ángulos es interno y el otro externo. De esta manera, son correspondientes los pares de ángulos 1−5, 2−6, 3−7, 4−8.

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Figura 8.2. Ángulos en rectas secantes.

Teorema de Thales

El teorema establece que:

Si dos rectas son cortadas por tres o más rectas paralelas, la razón entre las medidas de dos segmentos determinados sobre una de estas rectas es igual entre las medidas de los segmentos, determinada sobre la otra recta.

En la figura aparecen dos rectas t y s, cortadas por tres rectas paralelas a, b y c, entonces traducimos en símbolos lo que establece el Teorema de Thales.

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Ejercicio resuelto 1:

En la siguiente figura las rectas MP y QR están cortadas por rectas paralelas (en rojo), entonces se puede aplicar el Teorema de Thales.

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Para hallar la medida de x planteamos:

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Ejercicio resuelto 2:

Si la recta EH es paralela a la recta DA, la recta LK es paralela a la recta MJ y el ángulo ABJ = 100˚, hallar los ángulos FGB y CFG.[pic 38]

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Ejercicio resuelto 3:

Si la recta AB es paralela a la recta MN y el ángulo CON = 130˚, hallar el ángulo ABC.

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Ejercicio propuesto 1:

Sea MN es paralela a PQ y SS’ una secante para la cual el ángulo 7 es la mitad del ángulo 8; hallar todos los ángulos.

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Ejercicio propuesto 2:

Si la recta AD es paralela a la recta BC, la recta CD es paralela a la recta AB, y los ángulos BAD y ABC son iguales, respectivamente a 2x y 6x, hallar los ángulos ABC, BCD, CDA y DAB.

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Ejercicio propuesto 3:

Sabiendo que AB = 15 cm, BC = 20 cm y A'B' = 12 cm, halla la longitud del segmento B'C', usando el Teorema de Thales.

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Ejercicio propuesto 4:

Hallar   x   e   y   aplicando el Teorema de Thales.

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Subtema:

8.2 Figura Plana

CONTENIDOS DEL SUBTEMA

Triángulos, Rectas y puntos notables en el triángulo, Resolución de triángulos rectángulos, teorema de Pitágoras, relaciones trigonométricas, congruencia y semejanza de triángulos. Áreas y Perímetros.

Un triángulo es un polígono de tres lados. Dados tres puntos no colineales A, B y C, éstos determinan el triángulo ABC.

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Rectas y puntos notables de un triángulo.

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Congruencia y Semejanza de Triángulos.

Congruencia de Triángulos.

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Semejanza de triángulos.

Para determinar la semejanza de triángulos, se puede emplear alguno de

los siguientes criterios:

Criterio AA (ÁNGULO-ÁNGULO): Dos triángulos son semejantes si tienen

dos ángulos respectivamente de igual medida.

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 Teorema de Pitágoras.

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

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Triángulo rectángulo.

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Resolución de Triángulos Rectángulos.

Para resolver triángulos rectángulos es suficiente conocer la medida de un ángulo agudo y la longitud de un cateto, o bien la longitud de un cateto y la longitud de la hipotenusa, o la longitud de sus catetos. Luego aplicamos los teoremas mencionados según corresponda, así como las funciones trigonométricas:

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Ángulo de elevación y depresión.

Si una persona está mirando hacia arriba un objeto, el ángulo agudo medido desde la horizontal a la línea de visión del objeto se denomina ángulo de elevación. Por otro lado, si la persona está mirando hacia abajo un objeto, el ángulo agudo medido desde la línea de observación del objeto y la horizontal, se denomina ángulo de depresión.

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Perímetros y Áreas.

Perímetro de un polígono.

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Superficie y Área.

La superficie, en una región limitada, es el conjunto de puntos del plano encerrados por una figura geométrica plana simple. El área A es la medida de tal superficie y expresa la extensión de un cuerpo en dos dimensiones.

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Ejercicio resuelto 1:

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Ejercicio resuelto 2:

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Ejercicio resuelto 3:

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Ejercicio resuelto 4:

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Ejercicio propuesto 1:

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Ejercicio propuesto 2:

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Ejercicio propuesto 3:[pic 74]

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Ejercicio propuesto 4:[pic 75]

Ejercicio propuesto 5:

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