GUÍA DE LABORATORIO - Generación de Variables Aleatorias

Simulación de Sistemas[pic 1]

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Generación de Variables Aleatorias

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           OBJETIVOS

Al culminar la presente práctica, el alumno estará capacitado para generar valores aleatorios entre 0 y 1 y con ellos generar valores de variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.

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          recursos

   Uso del software Excel

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          duración de la práctica

   Una sesión (2 horas).

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          marco teórico

1. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Sea t una variable aleatoria que representa los intervalos entre llegadas de los vehículos a una estación de gasolina y sea λ la tasa de llegadas de los clientes al sistema, por lo tanto, para simular el sistema necesitamos generar valores para la variable aleatoria t, la cual sigue una distribución exponencial.

El procedimiento es el siguiente:

1° Generar un número aleatorio r entre 0 y 1

2° Usar el valor r para resolver la siguiente ecuación para t:

             F(t) = r

              1 - e-λt = r

           e-λt = 1 – r

⇒  t = -[pic 8]*ln(1 – r)

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Por lo tanto, para el ejemplo específico:

Si λ= 12 vehículos por hora

r=0.3329

⇒  t = -[pic 10][pic 11]*ln(1-0.3329)= 2.024 minutos

Lo cual significa que el siguiente vehículo llegará dentro de 2.024 minutos.

Importante:

Sea m la media de los intervalos entre llegadas,

Tenemos:  m = [pic 12]

Para nuestro ejemplo :

m = [pic 13][pic 14] = 0.08333, significa que en promedio cada 0.0833 horas llega un cliente.

Si lo convertimos a horas:

m = [pic 15][pic 16]*60 = 5, lo que significa que en promedio cada 5 minutos llega un cliente.

2. DISTRIBUCIÓN NORMAL

Suponga que la variable aleatoria t representa la demanda semanal de leche y tiene una distribución normal con una media μ de 750 galones al día y una desviación estándar σ de 100 galones.

El procedimiento es el siguiente:

1° Genere un número aleatorio uniforme r entre 0 y 1.

2° Use el valor r para encontrar un valor de t para el que:

             F(t) = P(D ≤ t) = r

Es decir, el valor de t es el valor de r para el área bajo la distribución normal a la izquierda de t, tal como se muestra en la figura siguiente:

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En la distribución normal se da la siguiente relación :

z = [pic 18]

•  t = μ + (σ*z)

donde z es el valor estándar de la distribución normal y su valor se determinar en base al valor de r. Utilizando la tabla estándar-normal del apéndice A y para un r=0.1515, encontramos:

z (0.1515) = -1.03

Por lo tanto, para nuestro ejemplo:

t = 750+100*(-1.03)=647 galones.

Lo que significa que la demanda de la próxima semana será de 647 galones.

3. DISTRIBUCIÓN UNIFORME

Sea t una variable aleatoria uniformemente distribuida entre 0 y 1, tales números tendrían la función de densidad f(t) y la función de densidad acumulada F(t):

        f(t)=1

        F(t)=t

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Si queremos generar valores entre 0 y 1 bajo un comportamiento uniforme, tendremos:

Valor mínimo (Min)=0

Valor máximo (Max)=1

•  t = Min + (Max-Min)*r

Pero si queremos generar el número de asientos vacíos que trae un autobús que llega a un paradero, los cuales están uniformemente distribuidos entre 5 y 15 asientos, y se tiene un número aleatorio r = 0.7, se tiene:

Min = 5

Max = 15

r = 0.7

t = 5 + (15 - 5)*0.7 =  12 asientos vacíos

Lo que significa que, el autobús llegará al paradero con 12 asientos vacíos.

4. DISTRIBUCIÓN DISCRETA (EMPÍRICA) 

Pasos:

1° Tomar una muestra lo suficientemente grande de los valores de la variable aleatoria (mínimo 30 observaciones)

2° Clasificar en rangos.

3° Determinar frecuencia asociada a cada rango.

4° Calcular la frecuencia o probabilidad correspondiente.

     Ejemplo: Sea t una variable aleatoria que representa los intervalos de llegada de los vehículos a un semáforo. Los 30 datos observados del sistema real son los siguientes:

Las frecuencias y probabilidades de ocurrencia de cada rango son las siguientes:

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