Geometria Conica

MARCO DE REFENCIA D LA INVESTIGACION

5.1 Marco teórico

Resumen histórico de las cónicas

Los griegos descubrieron las secciones cónicas entre los años 600 y 300 a. de C. Al comienzo del período de Alejandría se conocía ya lo bastante sobre las secciones cónicas como para que Apolonio (262-190 a. de C.) escribiera una obra de ocho volúmenes acerca de ellas. Más tarde hacia el final del período de Alejandría, Hypathia (370-415 a. de C.) escribió un libro titulado “Sobre las cónicas de Apolonio”. Su muerte marcó la terminación de la época de mayores descubrimientos matemáticos en Europa durante varios siglos.

Los antiguos griegos se ocuparon ampliamente de las propiedades geométricas de las cónicas. No obstante, hubo que esperar unos 1900 años, hasta los inicios del siglo XVII, a que las importantes aplicaciones de las cónicas quedaran puestas de manifiesto y las cónicas jugaran, de hecho, un papel preponderante en el desarrollo del cálculo.

En la primera mitad del Siglo XVII nace la Geometría Analítica. Su aparición no fue accidental, coincide con el desarrollo de otros campos como la navegación, el arte de la guerra, la astronomía, la mecánica, etc. Fermat y especialmente, Descartes están considerados como sus creadores.

Descartes deseaba crear un método que pudiera aplicarse a todos los problemas de la Geometría, es decir formular un método general de resolución. Su teoría se basa en dos conceptos: el de las coordenadas y el de representar en forma de curva plana cualquier ecuación algebraica en dos incógnitas, valiéndose para ello del método de las coordenadas y de los métodos analíticos. La Geometría Analítica representa una nueva concepción epistemológica de la Geometría ya que aparece un nuevo espacio geométrico el espacio de puntos, y una nueva forma de hacer Geometría apoyada en la herramienta del Álgebra. Se inicia la confrontación metodológica “análisis síntesis” (Bolea, Catalán, 1995). Las herramientas de la Geometría Analítica, permitieron traducir al lenguaje del Álgebra las propiedades de las cónicas representadas en todas sus formas por una ecuación de segundo grado y verificar sus propiedades. Ese lenguaje y la operatoria del Álgebra Lineal, nuevamente permiten en las últimas décadas del siglo XX, traducir la Geometría Proyectiva y Descriptiva a los programas computacionales que subyacen en el software gráfico.

Las cónicas con el devenir de los siglos han sido modelos geométricos y herramientas de pensamiento, en muchos campos de las ciencias físicas y en disciplinas que derivan de sus distintas ramas. Su interés e importancia es tan grande que resulta difícil dimensionarlos.

En el campo de la Matemática, las cónicas o las superficies cuádricas que con posterioridad generalizaron sus formas al espacio de tres dimensiones originaron una gran parte del desarrollo de la Geometría Descriptiva y de la Geometría Analítica. Aún en el actual terreno del Álgebra Lineal (disciplina muy reciente en el cuadro histórico de la Matemática) se utilizan sus propiedades. Por ejemplo, permiten una interpretación geométrica de las formas bilineales cuadráticas.

Las múltiples aplicaciones de las cónicas están presentes en casi todo el entorno artificial creado por el hombre.

2.- Las secciones conoídicas

Apolonio(262-190 a. de C.) captó cómo a partir de la consideración de un solo cono se llega a la obtención de las tres cónicas según la inclinación diversa del plano de sección.

Esta concepción geométrica empírica de las cónicas ha despertado el interés en analizar otro tipo de secciones generadas, no por un cono, sino por una superficie conoídica seccionada por un plano en distintas posiciones(Anido y otros, 1984). El conoide, cuya definición matemática, damos en el Anexo, podría pensarse como una superficie similar a la de un cono en el que las rectas generatrices se mantienen paralelas a un plano y se apoyan en dos directrices: una recta y una circunferencia.

En forma análoga a otras superficies regladas como el paraboloide hiperbólico, hiperboloide de una hoja, etc. (Anido y otros; 2002), el conoide circular recto es una superficie reglada de aplicación en estructuras arquitectónicas (Hohenberg, 1956). Existen para esta superficie, en la bibliografía del

tema, desde el punto de vista de la Geometría Analítica, muy pocos estudios sobre la misma y sus secciones planas.

En el conoide, en una primera visualización intuitiva notaríamos que, en lugar del punto vértice, tenemos un segmento y partiendo de él y dos faldas que se extienden hacia el infinito. Al seccionar con un plano esta superficie, aparecen algunas formas análogas a las elipses parábolas e hipérbolas que se generan en la superficie cónica seccionada con planos en distintas posiciones (algunas cerradas, otras abiertas con una rama o abiertas con dos ramas). Estas curvas podrían relacionarse con las secciones cónicas; pero además de ellas aparece otra variedad de formas insospechadas que se multiplican y en forma también similar a lo que ocurre con las secciones de una superficie cónica, en algunas posiciones del plano de sección aparecen las situaciones que de “degeneración (puntos, rectas...)

Si reflexionamos en la dimensión y riqueza de las propiedades geométricas de las secciones cónicas que ya revelaba el índice de Apolonio, siglos atrás, podremos vislumbrar el extraordinario campo de estudio que se abre en la consideración de estas secciones conoídicas cuya riqueza aún no ha sido demasiado explorada y que solo en el campo del diseño presentan un multifacético valor potencial. No hablemos de su relación posible, con otras áreas de modelización científica, como ha ocurrido con las maravillosas secciones cónicas.

Situación Actual

En las últimas décadas la Geometría parece haber perdido su anterior posición central en la enseñanza de la Matemática tanto en la enseñanza media, como en la etapa de formación básica de la Universidad, por diversas razones entre las que contaríamos:

La algebrización que ha promovido el movimiento de los años 70 hacia la “Matemática Moderna”,

El auge de otros tópicos en el currículo, en de todos los niveles, sin un incremento del tiempo dedicado a la Matemática.

Respecto al primer factor si bien esa tendencia se ha revertido, no volvió a ocupar la enseñanza de la Geometría su valor esencialmente formador de un pensamiento lógico deductivo. Ante este vacío, la comunidad matemática en los últimos años ha elevado fuertemente su voz,

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