Historia Del cálculo Integral

ASPECTOS HISTÓRICOS Y EPISTEMOLÓGICOS DEL CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA

El objetivo de este capítulo tiene dos pretensiones:una destacar los aspectos históricos más relevantes alrededor del concepto de integral definida y su relación con el concepto de área de una región, y otra intentar identificar las dificultades epistemológicas que ha tenido el desarrollo de este par de conceptos; con el objeto de enriquecer una propuesta didáctica al rededor del aprendizajede la noción de efecto acumulado en la integral definida, idea introducida en el capítulo precedente.

Esta intención es coherente con lo mencionado porTurégano (1993), la cualindica que el reencuentro entre historia y epistemología ha sido aprovechado por la didáctica de la matemática, dado que los productos del método histórico-crítico , han permitido analizar algunos fenómenos de los procesos enseñanza y aprendizajerelacionados con la reconstrucción deliberada de un saber o concepto específico;que naturalmente conllevala generación, puesta en marcha e interpretación del impacto producido,por propuestasde acciones pedagógicas y didácticas en el aula .

Además, Turégano (1993) en la introducción de su investigación histórica sobre algunas técnicas, métodos y conceptos que fueron la génesis de la actual teoría de la medida, cita a Morris Kline, quien afirma: “No se puede dudar de que las dificultades que los grandes matemáticos encontraron son también los obstáculos en los que tropiezan los estudiantes, y no puede tener éxito ningún intento de acabar con estas dificultades a base de palabrería lógica” (p.11).

Para el desarrollo de este capítulo, se siguen esencialmente los planteamientos de Turégano (1993) y Boyer (1987) sintetizando las principales ideas quetransformaronlas nociones de área, desde lasrelacionadas con actividades específicas del hombre antiguo prehelénico ,pasando porlos conceptos del método de exhausción griego, los elementos de Euclides, el método de Arquímedes, los aportes árabes, la tendencia escolástica de la Europa medieval, los aportes a finales del renacimiento y edad moderna,hastala definición de área en la teoría de la medida y las aplicaciones al cálculo de probabilidades. De manera simultánea, por una parte; se intenta descubrir algunos conceptos previos, tanto teóricos como prácticos, que deben tenerseen cuenta para que un estudiante aborde con éxito su primer curso de cálculo integral ; y por otra parte, se lanzan algunos cuestionamientos sobre la posible intencionalidad didáctica de futuras tareas en el aula;todo esto para motivar la propuesta que se desarrollará en el capítulo tres.

Para organizar y concretar las ideas que guían la discusión de este capítulo, se presentan las siguientes interrogantes:

¿Qué actividades del hombre prehelénico generaban o daban lugar a problemas relacionados con la noción de área?

¿Qué dificultad presentaba la noción de área de los egipcios y babilonios?

¿Qué cambio caracterizó el pensamiento matemático de la época griega y qué elementos se desarrollaron para motivar el método de exhausción visto como el equivalente al cálculo integral contemporáneo?

¿Qué dificultad presentaba la noción de área de los griegos?

¿Qué influencia tuvo la matemática árabe en el concepto de área?

¿Qué influencia tuvo la matemática de la Europa Medieval en el concepto de área?

¿Qué dificultad presentaba la noción de área en la Europa Medieval?

¿Qué influencia tuvo la matemática a finales del Renacimiento y principios del mundo moderno, en el concepto de área?

Newton dijo: “Si he logrado ver más lejos, ha sido porque he subido en hombros de gigantes”. ¿De Quiénesposiblemente son esosaportes fundamentales que alimentaron la reflexión y la creación de su obra?

¿Por qué a Newton y Leibniz se les considera los inventores del cálculo infinitesimal?

¿Qué otros aportes sucedieron a la invención del cálculo después de Leibniz y Newton?

¿Cómo se define hoy por hoy la integral definida y qué alcances tiene?

¿Qué originó la necesidad de definir la integral vía Riemann, vía Darboux, vía Lebesgue?

¿Cómo se construyó el puente que une la integral definida con el cálculo de probabilidades?

Primera pregunta: ¿Qué actividades del hombre prehelénicogeneraban o daban lugar a problemas relacionados con la noción de área? (¿Qué intencionalidad teórica-por ejemplo de congruencia-, qué intencionalidad práctica-por ejemplo la solución de problemas sobre área y perímetro de parcelas-y qué intencionalidad didáctica-por ejemplo la descomposición y recomposición de figuras complejas en figuras más simples-;se puede entrever en este periodo de tiempo?)

Según Turégano (1993) hace aproximadamente 15.000 años desde la prehistoria en la época de los cazadores y recolectores, se puede distinguir que, en las actividades comunicativas por medio del registro pictográfico; se hace buen uso del área, con lo cual puede conjeturarse que el problema de la distribución del espacio en el plano era eficiente . Con base en la misma autora, en los primeros años de la agricultura y ganadería, acciones como el almacenamiento de cosechas y líquidos dieron lugar a situaciones problema relacionadas con el cálculo de áreas, volúmenes y capacidades de los recipientes .

SegúnBoyer (1987), citando a Heródoto (485-424 a.C.); en las cercanías del Nilo, a causa de las fluctuantes inundaciones se hacían irreconocibles los linderos de las parcelas y se originó la necesidad de resolver problemas de áreas, los cuales fueron resueltos con buena precisión por parte de los agrimensores , de acuerdo con los registros del papiro de Rhid (S. XVI a.C,) o de Ahmes (1660-1620 a.C.).Según este mismo autor, en el papiro citado se visualizan algunas nociones egipcias de descomposición y recomposición de áreas, lo cual implica una noción de congruencia y primeras versiones del método demostrativo utilizado en la geometría euclidiana elemental. Sin embargo, anota el autor,en sus razonamientos no había diferencia clara entre métodos exactos y aproximados, teniendo en cuenta la presunta evidencia deun bajo nivel, o quizás la indiferencia,por generalizarla resoluciónde algunos tipos de problemas ytambién la ausencia aún de un sistema lógico formal .

Turégano (1993) explica que en lo referente a los babilonios, sus reflexiones sobre el concepto de área estaban más ligadas a cuestiones prácticas de figuras planas, basada en la evidencia de sus tablillas. Sin embargo ambos autores Boyer (1987) y Turégano (1993), reconocen que aunque es insuficiente el conjunto de pruebas

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