ITERACIÓN SIMPLE DE PUNTO FIJO (METODO ABIERTO)

ITERACIÓN SIMPLE DE PUNTO FIJO (METODO ABIERTO)

Métodos Abiertos:

         Hay un segundo tipo de métodos que aprovechan raíces de ecuaciones, que son los llamados “métodos abiertos”. Estos métodos tienen características importantes de recalcar, como por ejemplo: sólo requieren un valor inicial o un par, pero que pueden no encerrar la raíz. Tienen un problema, y es que tales métodos pueden ser divergentes conforme se realizan iteraciones. Pero si un método abierto se hace converger a la solución, usualmente lo hace con mayor rapidez que los métodos cerrados.

Convergencia para el método de iteración de punto fijo:

Un método es convergente, si la solución aproximada tiende a la solución verdadera. Un método abierto muy simple es el de “punto fijo”. Básicamente, consiste en reordenar los términos de la función de modo que f(x), al igualarla a cero para evaluar las raíces, se haga una transformación para que la variable “x” esté a la izquierda de la forma

x = g(x)   ;   xi+1 = g(xi)

Existen dos técnicas en las cuales se pueden obtener x = g(x):

• Despejando la variable x

Por ejemplo, si se tiene que  f(x)= 3x2 - 4x + 5, primero se iguala a cero la función y luego se despeja la variable x, de esta forma obtenemos:

[pic 1]

• Usando operaciones algebraicas sumando x a ambos lados de la ecuación.

Por ejemplo, si se tiene que  f(x)= cos (x), se iguala a cero la función y luego se suma la variable x a ambos lados de la ecuación, de la siguiente forma:

[pic 2]

Los conceptos de convergencia y divergencia se pueden ilustrar gráficamente. Además se pueden encontrar las raíces de una función de dos formas diferentes. Una de ellas es graficando f(x) y la otra es separando la misma f(x) en f1(x) = x y f2(x) = el otro lado de la ecuación.  Se puede observar en la  figura 1, que ambos métodos son efectivos.

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

Fig. 1: Dos métodos gráficos para determinar la raíz de f(x)=e-x –x

Se observa que por medio de los dos métodos anteriores, se obtiene de igual manera los correspondientes valores de las raíces.

En la figura 2 se muestra la representación grafica de la convergencia de funciones.

[pic 7]

Fig. 2 Funciones que producen convergencia.

En la figura 3 se puede apreciar gráficamente el comportamiento de la divergencia:

[pic 8]

Fig. 3  Funciones que producen divergencia

En consecuencia se establece que cuando el método converge, el error es proporcional, y menor que la iteración anterior, por esto se dice que la iteración simple de punto fijo es linealmente convergente.

Ejemplo 1 (Chapra, pág 141)

Raíz de:

[pic 9]

[pic 10]

Por iteración de punto fijo con xo = 0:

[pic 11]

[pic 12]

Tabla 2. Iteraciones realizadas para aproximar la función con cálculos de error. (εs = 0.5%)

Es una función divergente. El error aproximado aumenta con cada iteración.

Por método gráfico:

[pic 13]

[pic 14]

Gráfica del ejemplo 1

Ejemplo 2

(Chapra, problema 6.1, pág 165)

Raíz de:

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Por iteración de punto fijo con xo = 0.5:

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