Investigación de los números y conjuntos

Universidad tecnológica de México
Campus Ecatepec

Carrera: Ingeniería Industrial y Administrativa[pic 2]

Materia: Álgebra superior aplicada

Docente: Orlando Francisco Zamora

Matricula: 2809889

“Investigación de los números y conjuntos”.

INTRODUCCIÖN.

Desde que tenemos cierto conocimiento de la historia de la numeración, hace miles de años, hasta ahora, han cambiado mucho las cosas. En tiempos más remotos existieron culturas más o menos influyentes o predominantes en lo político y en lo social, pero no siempre este poderío estuvo relacionado con los avances en los sistemas de numeración y en las operaciones aritméticas.
Por otro lado, de la mano del desarrollo, ha ido convergiendo y extendiéndose el conocimiento de la aritmética, del álgebra y de la matemática en general, como el de otras ramas científicas, hasta en la actualidad, prácticamente en todo el mundo civilizado, los números y las operaciones con ellos se usan de manera muy parecida, a excepción de algunas culturas más celosas de su valioso legado científico y cultural. De esta forma, los algoritmos tradicionales tal y como los conocemos desde hace más de un siglo y tal y como se siguen enseñando hoy día en la mayoría de las escuelas de casi todo el mundo, salvo pequeñas diferencias, siguen siendo el referente universal.

Las sumas, restas, multiplicaciones y divisiones que nos enseñaron en la escuela, por no hablar de las raíces cuadradas, nos sirvieron durante años para hacer cálculos más o menos complicados, pero carecen de significado para la mayoría de nosotros y desde luego no fomentan el denominado sentido numérico, entendido como el dominio reflexivo de las relaciones numéricas que se pueden expresar en capacidades como: habilidad para descomponer números de forma natural, comprender y utilizar la estructura del sistema de numeración decimal y utilizar las propiedades de las operaciones y las relaciones entre ellas para realizar cálculos mentales y razonados.

En el presente trabajo nos enfocaremos en desarrollar los conceptos iniciales y básicos de la aritmética, abarcando de lo general a lo particular, al mismo tiempo  ejemplificados con situaciones de la vida cotidiana para de este modo analizar la importancia con la que cuenta para esta materia (Algebra superior aplicada) y de esta forma crear una correlación y así más adelante, a lo largo del curso poder aplicarlos sin dificultad alguna entendiendo la relación que tiene entre si la aritmética y la algebra.

¿Qué es la aritmética?

La aritmética (del lat. arithmetĭcus, y este del gr. ἀριθμητικός, ἀριθμός —número) es la rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números y las operaciones elementales hechas con ellos: suma, resta, multiplicación y división.

Al igual que en otras áreas de la matemática, como el álgebra o la geometría, el sentido de «la aritmética» ha ido evolucionando con el progresivo desarrollo de las ciencias. Originalmente, la aritmética se desarrolla de manera formal en la Antigua Grecia, con el refinamiento del rigor matemático y las demostraciones, y su extensión a las distintas disciplinas de las «ciencias naturales». En la actualidad, puede referirse a la aritmética elemental, enfocada a la enseñanza de la matemática básica; también al conjunto que reúne el cálculo aritmético y las operaciones matemáticas, específicamente, las cuatro operaciones básicas aplicadas ya sea a números (naturales, fracciones, etc.) como a entidades matemáticas más abstractas (matrices, operadores, etc); también a la así llamada alta aritmética, mejor conocida como teoría de números.

1. Conjuntos y campos numéricos

1. Noción de conjunto y elemento

Un conjunto es un grupo o colección de objetos, a cada conjunto se le designa con una letra mayúscula. Los objetos que integran un conjunto reciben el nombre de elementos del conjunto.

La característica principal de un conjunto es que esté bien definido, es decir, dado un objeto particular, debe saberse con claridad si dicho objeto es o no un elemento del conjunto.

CLASES DE CONJUNTOS

Según el número de elementos que conforman un conjunto, éstos se clasifican en:

 Universal o referencia.

  Vacío.

   Unitario.

   Finito.

   Infinito.

1. CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIA

El conjunto universal o referencia, es el formado por un amplio número de elementos, como puede ser el conjunto de los números naturales o por letras del abecedario. Estos conjuntos sirven de base para crear más conjuntos.

Para representar que un conjunto es universal se utiliza la vocal U mayúscula.

Ejemplo:

El conjunto formado por las letras del abecedario.

U = {letras del abecedario}

Del conjunto U se puede formar el conjunto V de vocales y conjunto C de consonantes.

CONJUNTO VACÍO

El conjunto vacío es aquel que no tiene elemento alguno.

Ejemplos:

A = { }

El conjunto A no posee ningún elemento.

B = {números impares entre 5 y 7 }

No existe ningún número impar entre los números 5 y 7.

Generalmente el conjunto vacío se representa mediante un paréntesis { } (corchete sin elemento), o por el símbolo.

CONJUNTO UNITARIO

 El conjunto unitario es aquel que posee solamente un elemento. 

Ejemplo:

1. El conjunto de números naturales mayores de 8 y menores de 10:

C = {9}

El único elemento es el número 9.

CONJUNTO FINITO

Un conjunto es finito, cuando posee un comienzo y un final, en otras palabras, es cuando los elementos del conjunto se pueden determinar o contar.

Ejemplos:

• Conjunto de números pares entre 10 y 40:

R = { 10,12,14,16,18,20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40 } 

• Conjunto de las páginas de un libro:

T = {páginas de un libro}.

• Conjunto de vocales.

V = { a, e, o, i, u }

CONJUNTO INFINITO

El conjunto es infinito, cuando posee un inicio pero no tiene fin. Es decir, que la cantidad de elementos que conforman el conjunto no se puede determinar.

Ejemplos:

• El conjunto de los números naturales:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,...}

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