LA GRAN APLICACION DE DERIVADAS

CALCULO DIFERENCIAL

UNIDAD 5

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

La determinación de las derivadas no está limitada solamente a un punto de vista teórico para que de esta forma los estudiantes puedan entender distintos temas de las matemáticas, sino que hay una serie de aplicaciones vitales de las derivadas en ejemplos de la vida real. Las derivadas encuentran un lugar vital en la ingeniería, física e incluso en los negocios y la economía, etc. Algunas de las aplicaciones más notables de las derivadas se explican a continuación:

1. Tasa de Variación: Esta es la aplicación más utilizada de las derivadas. Encuentra su aplicación en muchos problemas de la física. La tasa de variación en la localización de un punto te dará la velocidad de ese punto. De manera similar la tasa de cambio de la velocidad de un punto se conoce como la aceleración del mismo. La velocidad de un punto se despeja como, aquí x es el punto cuya velocidad será calculada y t representa el intervalo de tiempo.

2. Punto Crítico: El Punto crítico tiene una cantidad vasta de aplicaciones que incluyen la termodinámica, la física de la materia condensada, etc. Un punto crítico es aquel donde la derivada de la función es cero, no existe en absoluto.

  O    entonces c es el punto crítico para la función f(x). Es esencial que f© sea real, a fin de que c  sea un punto crítico.

3. Determinación de Valores Mínimos y Máximos: Este proceso se denomina optimización. Existen una serie de problemas que requieren la determinación de los valores mínimos y máximos de alguna función tal como la determinación del menor costo, aproximación del menor tiempo, cálculo de mayor ganancia, etc. Puede existir un mínimo local / punto máximo que se denomina mínimo relativo / Máximo punto o mínimo global / Máximo punto que se le llama como mínimo absoluto / punto máximo. El máximo absoluto es uno, , para todos los puntos del dominio de la función. Mientras que un punto máximo relativo es uno, , para todos los puntos en un período abierto en las proximidades de x igual a c.

4. Método de Newton: Una aplicación digna de notar de las derivadas es el método de Newton, este es utilizado para rastrear las raíces de una ecuación en una cascada de etapas para que en cada paso de la solución encontremos una solución mejor y más adecuada como raíz de la ecuación. Este envuelve también el uso de algunos términos de las Series Taylor. En términos llanos, el método de Newton puede establecerse como,

5. Aplicaciones en el Ámbito Del Comercio: Existe una gran cantidad de lugares en el comercio donde las derivadas son requeridas. Dado que el objetivo final del comercio es el de maximizar las ganancias y minimizar las pérdidas, la teoría de máximos y mínimos puede utilizarse aquí para evaluar la respuesta correcta y así aumentar la productividad total del comercio. También resulta conveniente analizar el costo promedio de un artículo lo que puede ayudar al aumento de la ganancia.

6. Aproximación lineal: En una serie de ramas de la física, como es el caso de la óptica, la Aproximación lineal juega un papel vital. En este utilizamos una función lineal con el fin de encontrar la aproximación de cualquier función general. Esta es más comúnmente conocida como una aplicación de la recta tangencial al gráfico de cualquier función lineal.

5.1.-   RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO , CURVAS ORTOGONALES 

Tangente a una curva

En la primera mitad del siglo XVII no se conocían métodos generales para calcular la tangente a una curva en un punto de la misma. Este problema se presentaba con frecuencia en mecánica, en óptica y en geometría, y generalmente se resolvía, de forma geométrica, con técnicas adaptadas a cada caso particular. La dificultad está que, siendo la tangente una recta, se precisa conocer dos puntos de la misma, o bien un punto y su pendiente, para poderla determinar.

Supongamos que queremos hallar la tangente a una curva de ecuación cartesiana y D f .x/ en el punto .a; f .a//. La estrategia, usada primero por Pierre de Fermat y más tarde por New-ton, consiste en aproximar la tangente por rectas secantes cuyas pendientes sí pueden calcularse directamente. En particular, consideremos la recta que une el punto .a; f .a// con un punto cercano, .x; f .x//, de la gráfica de f . Esta recta se llama una secante (recta que corta a la curva, pero no es tangente a la curva). La pendiente de esta secante es:

f .x/        f .a/

[pic 1]

x        a

dicho número suele llamarse cociente incremental de f  en a.

[pic 2]

Observa que una secante es una buena aproximación d e la tangente, siempre que el punto .x; f .x// estépróx imo a .a; f .a//. Estas consideraciones llevan a defin ir la tan-gente a la gráfica de f en el punto .a; f .a// como la recta que pasa por dicho punto y cuya pendiente es igual al límite:

f .x/        f .a/

lKım

x!a[pic 3]

Curvas Ortogonales

Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. Una normal a una curva es una recta que es perpendicular a la tangente de la curva. La tangente y la normal en un mismo punto en cualquier superficie siempre son perpendiculares entre sí.

Diferentes soluciones se pueden utilizar para encontrar la ecuación de la tangente de cualquier curva y = g(x) en los puntos x1, y1. La pendiente de la tangente a la curva y = g(x) en los puntos x1, y1 está dada por g‘(x1),es decir, el valor de la primera derivada de la función en x1, y1.

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