La derivada y sus aplicaciones.

COCIENTE INCREMENTAL

Se le llama cociente incremental o cociente de incrementos al cociente [pic 1]

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Se define como la derivada de la función y = f(x) con respecto a x en un punto x0 al límite, si existe, del cociente incremental  cuando x tiende a cero.[pic 2][pic 3]

Se denota por f’(x0). Entonces:

f’(x0) =  = [pic 4][pic 5]

El valor de la derivada de una función depende del punto en donde se calcule.

NOTACIONES

La derivada de la función y = f(x) puede escribirse:

y’   ó   f’(x)          Notación de Lagrange

Dxy   ó   Dxf(x)    Notación de Cauchy

   ó   f(x)      Notación de Leibniz[pic 6][pic 7]

   ó   (x)           Notación de Newton[pic 8][pic 9]

CÁLCULO DE LA DERIVADA A PARTIR DE LA DEFINICIÓN (MÉTODO DE LOS CUATRO PASOS)

Sea   y = f(x)        (1)

1er paso.-  Se incrementa en x el valor de la variable independiente, resultando incrementada la variable dependiente y, en y.[pic 10][pic 11]

y + y = f(x +x)        (2)[pic 12][pic 13]

2º paso.- Se calcula el incremento de la variable dependiente, restando la expresión (2) menos (1).

y = f(x + x) – f(x)        (3)[pic 14][pic 15]

3er paso.- Se calcula el cociente de los incrementos, dividiendo (3) entre x.[pic 16]

[pic 17]

4º paso.- Se calcula el límite del cociente de los incrementos        cuando x tiende a cero.[pic 18][pic 19]

[pic 20]

Si este límite existe, entonces dicho límite es la derivada  deseada:

[pic 21]

DERIVADAS LATERALES

La existencia de la derivada, siendo ésta un límite, está relacionada con la existencia de los límites laterales y con la igualdad entre ellos.

=[pic 22][pic 23]

 =[pic 24][pic 25]

Estos límites laterales son la derivada lateral por la izquierda y la derivada lateral por la derecha, respectivamente. Se denotan de la siguiente manera:

Derivada lateral por la izquierda:

 (xo) = [pic 26][pic 27]

Derivada lateral por la derecha:

 (xo) = [pic 28][pic 29]

Con lo anterior, si f’(xo) existe   (xo) =  (xo) = f’(xo)[pic 30][pic 31][pic 32]

DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

Si la derivada f’(x) existe en todos los puntos de un intervalo abierto (a, b), entonces f(x) es derivable en ese intervalo.

Cuando f’(x) no existe en uno o más puntos del intervalo, entonces la función f(x) no es derivable en uno o más puntos de dicho intervalo.

Si el dominio de una función continua f(x) es el intervalo cerrado [a, b] no puede hablarse de la derivabilidad de la función en el intervalo, dado que si no existe   (a),  implica que no existe   f’(a); análogamente, si no existe   (b),   entonces no existe f’(b).[pic 33][pic 34]

DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD

Si la función f(x) es derivable en el punto x = x1, entonces la función es continua en dicho punto.

Toda función derivable en un punto, es continua en él, pero no toda función continua en un punto es derivable en el mismo.

La continuidad es una condición necesaria para la existencia de la derivada, pero no es condición suficiente.

Una función f(x) es derivable en el punto x1 sí y sólo si se cumplen las siguientes dos condiciones:

1.  f(x) es continua en x1
2.   (x1) =  (x1)[pic 35][pic 36]

Si cualquiera de ellas no se verifica, entonces no existe f’(x1).

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE FUNCIÓN

(REGLA DE LA CADENA)

Sean las funciones   y = f(u),   u = g(x)   derivables tales que   y = f( g(x))    x Dg     que hace que    g(x)  Df[pic 37][pic 38][pic 39]

Entonces, la derivada de y con respecto a x está dada por      =     , o bien,   Dxy = Duy Dxu[pic 40][pic 41]

GENERALIZACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA

Sea (x) = h {g [f (x)]}. Si se cumple que:[pic 42]

1.  f es derivable en x
2.  g es derivable en f(x)
3. h es derivable en g [f (x)]

entonces la función (x) es derivable en x y la derivada es:[pic 43]

(x) = h’{g [f (x)]}   g’[f (x)]   f’(x)[pic 44]

o bien, con la notación de Leibniz,

si   y = h(u),   u = g(v),   v = f(x)

     =     [pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

o con la notación de Cauchy,

Dxy = Duy Dvu Dxv

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA

Si y = f(x) es una función biunívoca (inyectiva o uno a uno), derivable,  f‘(x)  0, siendo su función inversa[pic 50]

x = f-1(y), entonces la derivada de la inversa es:

Dyx = [pic 51]

Es decir, es posible obtener la derivada de la función inversa a partir de la derivada de la función dada, sin tener que determinar su inversa.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS

Dado que el proceso de derivación por el método de los cuatro pasos puede resultar muy laborioso, existen fórmulas sobre derivación de funciones comunes cuya aplicación permite el cálculo de derivadas, con relativa facilidad.

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