Leyes Exponentes Y Logaritmos

Introducción

El concepto de función es tan extenso y tan general que no es sorprendente encontrar una inmensa variedad de funciones que se presentan en la naturaleza. Lo que sí es sorprendente es que un corto número de funciones especiales rijan una multitud de fenómenos naturales totalmente diferentes.

Estudiaremos aquí algunas de estas funciones, o sea la función exponencial y su inversa, la función logarítmica.

Es importante para todo aquel que estudie ingeniería, ya sea como una disciplina abstracta o como instrumento en otros dominios científicos, tener un conocimiento práctico y teórico de estas funciones y sus propiedades.

Para comprender más extensamente estas funciones hemos de remontarnos un poco y repasar algunas definiciones, como ser la de exponenciación, logaritmo y función; así como algunas de sus propiedades más relevantes.

Las leyes de los exponentes

A la hora de evaluar y simplificar exponentes, utilizamos las Leyes de los Exponentes, una serie de reglas que nos sirven para hallar el valor de una expresión más rápidamente.

Los exponentes indican cuántas veces el factor, llamada base, ocurre en la multiplicación.

Ej. an = a significa que la a se está multiplicando por sí misma n veces.

El exponente es el número n y la base es la a.

Reglas de los Exponentes:

Regla #1

an • am = a n+m

Esta regla establece que en multiplicación, cuando las bases son iguales, los exponentes se suman.

Ejemplos:

a. 22 • 21 = 2 2+1 = 23 = 8 ( 2 2 • 21 = 2 • 2• 2 = 2 3)

b. x3 • x4 = x 3+4 = x7 ( x3 • x4 = x • x • x • x • x • x • x = x7)

Regla #2

(an)m = anm

Esta regla establece que cuando un exponente está afuera, y uno dentro del paréntesis, se multiplican.

Ejemplos:

a. (a2)3 = a 2•3 = a6 [ (a2)3 = a2 •a2 •a2 ;( pero por la regla #1) = a6 ]

b. (22)3 = 2 2 • 3 = 26 = 64 ó (2 2)3 = (4) 3 = 64

[ (22)3 = 22 • 22 • 22 = 26]

Regla #3:

(ab)n = an • bn

Cuando hay un producto con un exponente afuera, el exponente le corresponde a cada término; en este caso, a y b.

Ejemplo: (xy)5 = x5y5

Regla #4:

am = a m-n , a tiene que ser diferente de 0.

an

Cuando hay una división, y las bases son iguales, los exponentes se restan.

Ejemplos:

x3 = x 3 - 2 = x 1 = x

x2

105 = 10 5 - 2 = 10 3 = 1,000

102

Regla # 5:

a 0 = 1; si a es diferente de 0.

Toda base al exponente 0 es igual a 1.

Ejemplos:

3 0 = 1

(-6) 0 = 1

x3 = x 3-3 = x 0 = 1

x3

Regla #6:

a -n = 1 , si a es diferente de 0.

an

Esta es la forma de convertir un exponente negativo a positivo.

Ejemplo:

...