Linealización

General

[editar]Linealización

Algunos problemas de regresión no lineal pueden linealizarse mediante una transformación en la formulación del modelo. Por ejemplo, consideremos el problema de regresión no lineal (ignorando el término de error):

Aplicando logaritmos a ambos lados de la ecuación, se obtiene:

lo cual sugiere una estimación de los parámetros desconocidos a través de un modelo de regresión lineal de ln(y) con respecto a x, un calculo que no requiere procedimientos de optimización iterativa. De todas formas, la linealización debe usarse con cuidado ya que la influencia de los datos en el modelo cambia, así como la estructura del error del modelo y la interpretación e inferencia de los resultados. Estos pueden ser resultados no muy convenientes.

Hay que distinguir entre la "linealización" usada en los párrafos anteriores y la "linealización local" que se adopta para algoritmos clásicos como el de Gauss-Newton. De igual forma, la metodología de modelos lineales generalizados no use linealización para la estimación de parámetros.

[editar]Mínimos cuadrados ordinarios y ponderados

La mejor curva de ajuste se considera como aquella que minimiza la suma de las desviaciones (residuales) al cuadrado (SRC). Este es la aproximación por el método de mínimos cuadrados (MMC). Sin embargo, en aquellos casos donde se tienen diferentes varianzas de error para diferentes errores, es necesario minimizar la suma de los residuales al cuadrado ponderados (SRCP) (método de mínimos cuadrados ponderados). En la práctica, la varianza puede depender del valor promedio ajustado. Así que los pesos son recalculados para cada iteración en un algoritmo de mínimos cuadrados ponderados iterativo.

En general, no hay una expresión de forma cerrada para los parámetros de mejor ajuste, como sucede en el caso de la regresión lineal. Métodos numéricos de optimización son aplicados con el fin de determinar los parámetros de mejor ajuste. Otra vez, en contraste con la regresión lineal, podría haber varios máximos locales de la función a ser optimizada. En la práctica, se suponen algunos valores iniciales los cuales junto con el algoritmo de optimización conducen a encontrar el máximo global.

[editar]Estimación de los parámetros usando Métodos de Montecarlo

Si el error de cada observación es conocido, entonces la precisión y confiabilidad de los parámetros puede ser estimada mediante simulación de Montecarlo. Cada observación es aleatorizada de acuerdo a su media y su desviación estándar. Con el nuevo conjunto de datos, una nueva curva es ajustada y las estimaciones de los parámetros registradas. Las observaciones son entonces aleatorizadas y nuevos valores de los parámetros son obtenidos. Al final, varios conjuntos de parámetros son generados y su media y desviación estándar pueden ser

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