Linealización

BARINAS JUNIO 2014

Linealización

En general el proceso de linealización quiere decir que la representación matemática de un problema tenga una aproximación lineal, o que por medio de un cambio de variables el problema se haga lineal, en el sentido que las ecuaciones correspondientes contengan sólo la primera potencia de las variables involucradas en el sistema considerado.

Objetivo General

Linealizar modelos.

Objetivos específicos

• Linealizar modelos básicos que se presentan en ciencias naturales.

• Hacer regresión lineal por medio del método de mínimos cuadrados

•

Algunos problemas de regresión no lineal pueden linealizarse mediante una transformación en la formulación del modelo. Por ejemplo, consideremos el problema de regresión no lineal (ignorando el término de error):

Aplicando logaritmos a ambos lados de la ecuación, se obtiene:

Lo cual sugiere una estimación de los parámetros desconocidos a través de un modelo de regresión lineal de ln (y) con respecto a x, un cálculo que no requiere procedimientos de optimización iterativa. De todas formas, la linealización debe usarse con cuidado ya que la influencia de los datos en el modelo cambia, así como la estructura del error del modelo y la interpretación e inferencia de los resultados. Estos pueden ser resultados no muy convenientes

Métodos que permiten linealizar algunos modelos

Son:

• La logaritmación

• Cambio de variables

Por logaritmación

Entre los modelos que permiten linealización mediante la logaritmación están:

• La función potencial.

• La función exponencial.

Cuando se requiere realizar el análisis dinámico de sistemas no-lineales, puede tomarse las siguientes alternativas:

Transformar el sistema no-lineal en uno lineal haciendo una transformación apropiada de sus variables.

Simular el sistema no-lineal usando una computadora analógica o digital y calcular su solución numéricamente.

Desarrollar un sistema lineal que aproxime el comportamiento dinámico del sistema no-lineal alrededor del punto específico de operación.

Linealización es el proceso matemático que permite aproximar un sistema no-lineal a un sistema lineal.

Esta técnica es ampliamente usada en el estudio de procesos dinámicos y él en el diseño de sistemas de control por las siguientes razones:

(Yokasta)

Se cuenta con métodos analíticos generales para la solución de sistemas lineales. Por lo tanto se tendrá una solución general del comportamiento del proceso, independientemente de los valores de los parámetros y de las variables de entrada.

Esto no es posible en sistemas no-lineales pues la solución por computadora da una solución del comportamiento del sistema valida solo para valores específicos de los parámetros y de las variables de entrada

Todos los desarrollos significativos que conllevan al diseño de un sistema de control ha sido limitado a procesos lineales La aproximación lineal consiste en eliminar los términos de orden superior a partir del término de segundo orden.

Analogía entre una función no lineal de cierta curvatura cuya representación lineal es la línea Recta que pasa tangente en uno de sus puntos y las ecuaciones que describen un sistema dinámico

No lineal cuya representación lineal se obtiene a partir de las derivadas parciales de la misma función con respecto a sus variables

El análisis en un sistema dinámico no lineal se realiza de manera similar. Las ecuaciones de los Sistemas no lineales se pueden entender de la misma forma que se describe este comportamiento Grafico de una curva. La interpretación grafica de una linealizacion es encontrar la forma de la lınea tangente en un punto de la función de una curva. Este punto se tomara en cuenta como el Punto de operación o el punto de equilibrio.

Sistemas no lineales, puntos de equilibrio y puntos de operación Un punto de equilibrio del sistema dinámico representa las condiciones de las variables del Sistema, en donde este se encuentra estático.

(Otra)

Por ejemplo,

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