Linealizacion

LINEALIZACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS NO LINEALES.

El proceso de linealizar sistemas no lineales es importante, porque linealizar ecuaciones no lineales permite aplicar numerosos métodos de análisis lineal que proporcionen información acerca del comportamiento de los sistemas no lineales. El procedimiento de LINEALIZACIÓN que se presenta aquí se basa EN LA EXPANSIÓN DE LA FUNCIÓN NO LINEAL EN SERIES DE TAYLOR ALREDEDOR DEL PUNTO DE OPERACIÓN Y LA RETENCIÓN SOLO DEL TÉRMINO LINEAL. Debido a que NO CONSIDERAMOS LOS TERMINOS DE ORDEN SUPERIOR de la expansión en series de Taylor, ESTOS TÉRMINOS NO CONSIDERADOS DEBEN SER SUFICIENTEMENTE PEQUEÑOS; es decir, LAS VARIABLES SOLO SE DESVÍAN LIGERAMENTE DE LA CONDICIÓN DE OPERACIÓN.

APROXIMACIÓN LINEAL DE MODELOS MATEMÁTICOS NO LINEALES. A fin de obtener un modelo matemático lineal para un sistema no lineal, SUPONEMOS QUE LAS VARIABLES SOLO SE DESVÍAN LIGERAMENTE DE ALGUNA CONDICIÓN DE OPERACIÓN. Considere un sistema cuya entrada es x(t) y cuya salida es y(t). La relación entre x(t) y y(t) se obtiene mediante

y = f(x) (1)

Si la condición de operación normal corresponde a x ̅ ,y ̅ , la ecuación (1) se expande en series de Taylor alrededor de este punto, del modo siguiente:

y = f(x) = f(x ̅)+ df/dx (x- x ̅ )+ 1/2! (d^2 f)/(dx^2 ) (x- x ̅ )+ ………(2)

en donde las derivadas df/dx ,(d^2 f)/(dx^2 ) ,……. se evalúan en x = x ̅. Si la variación (x- x ̅ ) es pequeña, es posible no considerar los términos de orden superior en (x- x ̅ ) . A continuación, la ecuación (2) se escribe como:

y= (y ) ̅ + K (x- x ̅ ) ………….. (3)

en donde

y ̅=f(x ̅)

K=df/dx 〖 ⃒ 〗_(x= x ̅ )

La ecuación (3) puede escribirse como

y- y ̅=K(x-x ̅)

lo cual indica que y- (y ) ̅ es proporcional a (x- x ̅ ). La ecuación (3) da un modelo matemático lineal para el sistema no lineal obtenido mediante la ecuación (1) cerca del punto de operación x= (x ) ̅,y= y ̅ .

A continuación, considere un sistema no lineal cuya salida y es una función de dos entradas x1 y x2, de modo que:

y=f(x_1 ,x_2) ………………….. (4)

A fin de obtener una aproximación lineal para este sistema no lineal, es posible expandir la ecuación (4) en series de Taylor alrededor del punto de operación normal x ̅_1,x ̅_2 Después, la ecuación (4) se convierte en:

y=f(x ̅_1 ,x ̅_2 )+ [∂f/(∂x_1 ) ( x_1- x ̅_1 )+ ∂f/(∂x_2 ) ( x_2- x ̅_2 )] + 1/2_! [(∂^2 f)/(∂〖x_1〗^2 ) 〖〖(x〗_1- x ̅_1) 〗^2 + 2 (∂^2 f)/(∂x_1 ∂x_2 ) ( x_1- x ̅_1 )( x_2- x ̅_2 )+ (∂^2 f)/(∂〖x_2〗^2 ) 〖〖(x〗_2- x ̅_2) 〗^2 ] ……………………………………(5)

En donde las derivadas parciales se evalúan para x_1= x ̅_1,〖 x〗_2= x ̅_2 .Cerca del punto de operación normal, es posible no considerar los términos de orden superior. A continuación, el modelo matemático lineal de este sistema no lineal alrededor de la condición de operación normal se obtiene mediante

y- y ̅=K_1 (x_1-x ̅_1 )+ K_2 (x_2-x ̅_2 )

en donde

y ̅=f(x ̅_1 ,x ̅_2 )

K_1=df/(dx_1 ) 〖 ⃒ 〗_(x_1= (x ) ̅_(1 ),〖 x〗_2=x ̅_2 )

K_2=df/(dx_2 ) 〖 ⃒ 〗_(x_1= (x ) ̅_(1 ),〖 x〗_2=x ̅_2 )

La técnica de linealización presentada aquí es válida alrededor de la condición de operación. Sin embargo, si las condiciones de operación varían ampliamente, tales ecuaciones linealizadas no son adecuadas y deben manejarse como ecuaciones no lineales. Es importante recordar que un modelo matemático determinado, que se use en el análisis y el diseño, puede representar con precisión la dinámica de un sistema real para ciertas condiciones de operación, pero no puede ser preciso para otras.

LINEALIZACIÓN Y VARIABLES DE DESVIACIÓN

Al analizar la respuesta dinámica de los procesos industriales, una de las mayores dificultades es el hecho de que es no-lineal, es decir, no se puede representar mediante ecuaciones

...