MODELOS MATEMATICOS APLICADOS A LAS CIENCIAS DE LA SALUD

Introducción

La historia del desarrollo de las matemáticas cubre un periodo de casi siete mil años. Entre las primeras disciplinas encontramos el álgebra, la geometría y la trigonometría. Los griegos veían las matemáticas como una ciencia educativa, pues contemplaban definiciones, axiomas claramente formulados, y a partir del razonamiento lógico y prueba precisa, elaboraron una teoría de la geometría que demostró para todos los tiempos, el poder del pensamiento abstracto y condujo al hombre a descubrir que a través de las matemáticas se puede entender la naturaleza. Después de casi dos mil años, en el siglo xvii, aparece lo que hoy conocemos como matemática y ciencia moderna. Fue ésta la época de las grandes academias, donde los matemáticos eran físicos, los físicos eran filósofos y los filósofos eran matemáticos. La geometría analítica comienza con Fermat (1629) y Descartes (1637), siendo este último el primero en aplicar sistemáticamente el álgebra al estudio de la geometría. Cincuenta años más tarde, Newton y Leibniz desarrollan el cálculo diferencial e integral, que consiste en calcular la pendiente de la recta tangente a una curva y determinar el área limitada por una curva, respectivamente. A ellos se les conoce como los fundadores del cálculo, por la manera en cómo relacionaron ambos problemas; tales relaciones se encuentran enunciadas en el resultado más importante del cálculo, denominado: Teorema Fundamental del Cálculo. Éste fue el comienzo del análisis y dio ímpetu a las matemáticas y a la ciencia moderna vigente en la actualidad. De esta manera, el mayor número de aplicaciones de las matemáticas a la ciencia se concentran en el cálculo, en particular dentro del estudio de las ecuaciones diferenciales.

ANTECEDENTES

En la última década del siglo XVII, los hermanos James y Johan Bernoulli introdujeron términos como el de “integrar” una ecuación diferencial, así como el proceso de separación (separatio indeterminatarum) de una ecuación diferencial. Johan Bernoulli i (1692) encontró otro método, utilizando en una serie de problemas, la multiplicación por un “factor integrante”, sobre todo para resolver ecuaciones en los cuales el método anterior no se podía aplicar, método también usado por su sobrino Daniel Bernoulli (1720). Sin embargo, los métodos eran incompletos y la teoría general de las ecuaciones diferenciales a comienzos del siglo xviii no podía ser propuesta.

Es a Euler (1770) a quien le correspondió la primera sistematización de los trabajos anteriores en su obra: Institutiones Calculi Integralis, Ediderunt Friendrich Engel et Ludwing Schlesinger, la cual contiene una buena parte (y mucho más) del material que encontraríamos en un libro de texto actual, como el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden y su correspondiente clasificación en: lineales, separables, homogéneas y exactas; las de segundo orden y su generalización a las de orden superior; asimismo, encontramos el método de series de potencias.

Este trabajo marca el fin de la etapa algebraica-algorítmica en la historia de las ecuaciones diferenciales ordinarias, y comienza la segunda etapa hasta finales del siglo xix la cual es llamada “fundamentos”, en atención a que en ésta, las principales cuestiones de fundamentación recibirán tratamiento y solución. Los logros más importantes de esta etapa fueron los de D´Alambert (1776), quien encontró que la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea es igual a la suma de una cierta solución particular y la solución general de la correspondiente solución homogénea, y Lagrange (1774), quien demostró que la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n con coeficientes constantes, es de la forma:

Donde son un conjunto de soluciones linealmente independiente y son constantes arbitrarias. Esto es conocido como el “Principio de superposición”. Este mismo autor, en 1774, descubrió en su forma general el método de “Variación de parámetros”.

MODELOS MATEMÁTICOS EN CIENCIAS DE LA SALUD

A ciencia cierta, no se sabe quién descubrió las ecuaciones diferenciales, ya que la historia de las matemáticas es tan grande como el origen del universo, del cual tampoco sabemos quién es su creador. Una ecuación diferencial es una expresión que involucra derivadas de una función desconocida de una o varias variables.

De las ecuaciones diferenciales, encontramos dos tipos:

(a) Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama Ecuación diferencial ordinaria.

(b) Si la función desconocida depende de más de una variable, la ecuación se llama Ecuación diferencial parcial.

También las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse por su orden y por su grado. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación, y el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esté elevada la derivada que da el orden de la ecuación diferencial. Una de las ecuaciones diferenciales más conocida y sencilla es la Ley de crecimiento

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