MULTIPLICADORES DE LAGRANGE: MAXIMOS Y MINIMOS

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE: MAXIMOS Y MINIMOS

Tenemos la función a evaluar   con una condición [pic 1][pic 2]

Tenemos la función de LaGrange que es  [pic 3]

Que no es más que nuestra función a evaluar (f(x,y)) más el multiplicador de LaGrange representado por landa y la función de condición (g(x,y).

Procedemos a evaluar y nos quedaría

[pic 4]

Realizamos la derivada parcial con respecto a cada letra

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Lo que nos queda es un sistema de ecuaciones con 3 incognitas

[pic 8]

[pic 9]

   [pic 10]

Despejamos la ecuación 3 con respecto a X para sustituir en la ecuación 1

 [pic 11]

 [pic 12]

Simplificamos la ecuación

[pic 13]

[pic 14]

Simplificamos la ecuación 4 con la 2

[pic 15]

[pic 16]

Eliminamos términos semejantes

  Despejamos landa y nos queda que  que es igual a [pic 17][pic 18][pic 19]

Ya tenemos el valor de landa que equivale a 4

Sabiendo esto procedemos a encontrar el valor de Y tomando la ecuación 2 y reemplazando valores

 [pic 20]

 [pic 21]

Se reemplazan valore

  despejamos y nos queda que  [pic 22][pic 23]

Obtenemos que [pic 24]

Para hallar el valor de X tomamos lo siguiente

 [pic 25]

Y reemplazamos el valor de y

 [pic 26]

 [pic 27]

Entonces como ya hallamos todos los valores tenemos lo siguiente

 [pic 28]

 [pic 29]

  [pic 30]

Para saber si hay un máximo o mínimo relativo necesitamos saber el punto crítico que estamos encontrando

    [pic 31][pic 32]

Para saber si hay un máximo o mínimo relativo necesitamos aplicar lo siguiente

 [pic 33]

Todo eso lo vamos a evaluar en la coordenada 2,2

 Derivada con respecto a X[pic 34]

 Derivada con respecto a Y[pic 35]

  Derivada con respecto a landa[pic 36]

Estas funciones son las que representan a cada una de las primeras derivadas

 [pic 37]

 [pic 38]

       el punto (2,2) será el máximo [pic 39][pic 40]

En caso de que nuestro valor de la segunda derivada de LaGrange sea mayor a 0 se tratará de un mínimo

INTEGRALES DOBLES CON RAIZ CUADRADA

Nos entregan esta integral para resolver

[pic 41]

Como observamos primero debemos resolver la integral en función , es decir que todas las variables X serán constantes con un valor para nosotros. [pic 42]

 sacamos X ya que para nosotros tiene un valor numérico [pic 43]

 para resolver esto debemos aplicar sustitución [pic 44]

      [pic 45][pic 46]

                                           [pic 47]

                                          [pic 48]

Reemplazamos y tenemos en cuenta de que nuestros límites de integración cambian, es decir que mi límite de integración en y=0 la cambio en u y me queda que  y este sería mi nuevo límite de integración inferior.[pic 49]

 [pic 50]

Ahora pasamos a nuestro límite de integración superior, realizamos el mismo procedimiento que el anterior solo que ahora nuestro y=1.

 [pic 51]

Reescribimos nuestra integral

 [pic 52]

Eliminamos las Y, y simplificamos y sacamos de la integral el ½  

 Aplicando los métodos de integración tenemos una integral básica en caso de que tuviéramos una integral indefinida pero como nuestra integral es definida no le ponemos la constante de integración [pic 53][pic 54]

 [pic 55]

Aplicamos esta propiedad en este ejercicio, tenemos que sumarle 1 al exponente y dividirlo entre el resultado de esa suma

  [pic 56]

Simplificamos los términos semejantes sin importar que estén los límites de integración

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