Matematicas evidencia

II. Resuelve los siguientes problemas:

1.Un triángulo equilátero tiene una altura de 15 cm ¿Cuánto mide cada uno de sus lados?

ángulo : 60°, ya que los 3 ángulos sumados te dan 180º.

Entonces se utiliza  la función seno del ángulo de 60º, ya que esta involucra el cateto opuesto (15cm) y la hipotenusa.

 El procedimiento es:

 sen 60º = 15 / x

 sustituyendo para x te queda:

sen 60º = 15 / x

 sustituyendo para x te queda:

 x = 15/sen60º

x = 15/0.866

 x = 17.32 cm

 Este es el resultado de la hipotenusa, y como en el triángulo equilátero todos los lados son iguales entonces todos los lados miden 17.32 cm.

2.Con una pieza cuadrada de material debe construirse una caja abierta ,cortando cuadrados de 6 cm en cada esquina  y levantando los lados .El volumen  de la caja debe ser  de 864 cm .[pic 1]

Determina las medidas de la pieza original de material.

3.Se instala un tendedero de 2.5 m de longitud a lo largo de la diagonal de un patio de servicio rectangular. Si se requieren 3.5 m de barda para cubrir dos de los lados adyacentes del patio, calcula las dimensiones del patio.

El problema nos da la hipotenusa y la suma de los catetos

 C1^2 + C2^2 = 2.5^2 = 6.25 = 25/4

 C1 + C2 = 3.5 = 7/2

Se  debe encontrar  el producto de C1 y C2.

 Se utiliza  el cuadrado de un binomio

 (C1+C2)^2 = C1^2 + C2^2 + 2 C1 C2

 (7/2)^2 = 25/4 + 2 C1 C2

 49/4 = 25/4 + 2 C1 C2

 2 C1 C2 = (49 - 25)/4= 6

 C1*C2 = 3

Se utiliza las propiedades  de las raíces de la ecuación de segundo grado

u^2 - (7/2) u + 3 = 0

 Las dos soluciones son

 u1 = 3/2 m ; u2 = 2 m

 Identificamos

 C1 = 3/2 m = 1.5 m

 C2 = 2 m

 o

 C2 = 3/2 m = 1.5 m

 C1 = 2 m

 Ambas soluciones válidas.

4. Una persona calcula que el costo diario para transportarse en su automóvil al trabajo es de 15 pesos, y esto lo divide en partes iguales entre él y sus pasajeros. Algún tiempo después se unen al grupo dos pasajeros más, lo cual permite reducir dos pesos en el costo del transporte por persona. Calcula el número de personas que forman el nuevo grupo.

X1=15

X2=15-2=13

15/6=2.50

15/8=1.875

5. Una sala rectangular cuya longitud excede su ancho por 3 m requiere 54 m   de alfombra de pared a pared . ¿Cuáles son las dimensiones del cuarto?[pic 2]

x = ancho

 x + 3 = largo

 Area = a = 54 m^2

 Ecuacion:

 Area = a = largo por ancho

 a = x ( x + 3 )

 54 = x^2 + 3x

 Ordenando la ecuacion cuadratica e igualando a cero:

x^2 + 3x – 54 = 0

 Ecuacion de segundo grado. Factorizamos la ecuación: para ello buscamos dos números que multiplicados nos den -54 y sumados nos den +3, ellos son +9 y -6

 ( x + 9 ) ( x – 6 ) = 0

 Aplicamos el factor cero:

 Si x + 9 = 0, entonces x = -9

 Si x – 6 = 0, entonces x = 6

 Desechamos la respuesta x = -9 por ser una longitud negativa.

 Tomamos como respuesta para el ancho x = 6 m

 Para hallar el largo reemplazamos x = 6 en la ecuación inicial correspondiente al largo:

 Largo = x + 3 = 6 + 3 = 9 m

 Respuesta:

 Largo = 9 m

 Ancho = 6 m

 Prueba:

 Area = 9 * 6 = 54 m^2 ( esta okey )

 Nota. para hallar facilmente los dos numeros que van en los binomios al factorizar se descompone en sus factores primos el termino constante en este caso es 54.

 Los factores primos son: 2, 3, 3, 3, entonces se buscan cuales de estos factores primos multiplicados nos dan lo que necesitamos, por ejemplo para nuestro ejercicio necesitabamos que multiplicados den -54 y sumados den +3 entonces los acomodamos de tal forma que nos den lo que buscamos; 3*3 = +9; -2*3 = -6

6.Una bandera tiene una cruz blanca, de anchura uniforme, sobre fondo rojo. Encuentra el ancho de la cruz que ocupa de manera exacta la mitad del área total de la bandera, la cual mide 4 m por 3m.

A=b*h

A= 4*3= 6 cm[pic 3]

7. Varias personas planearon un viaje y cada una aporto 600 pesos; pero luego calcularon que con un grupo más grande podrían reducir sus gastos en 30 pesos diarios por persona y alargar el viaje un día más con la misma contribución de 600 pesos. Calcula el costo diario por persona que habían planeado para el grupo original.

X=600

600/30=20

600/15=40

8. La escalera que conduce al segundo piso de una casa tiene 5 m de longitud; si sabemos que la altura del segundo piso es 1 m menor que la distancia del pie de la escalera de la pared, ¿Cuál es la altura de la casa?

Si la escalera tiene 5m, (Hipotenusa), la altura es(x) y la base es (x+1), se debe cumplir el teorema de Pitágoras:

 b² = a² + c² es decir

 5² = (x)² + (x+1)²

25 = x² + x² + 2x + 1

 24 = 2 x² + 2x

simplificando:

 12 = x² + x

 x² + x - 12 = 0

 Factorizando:

 (x-3)(x+4) =0

...