Matemáticas de las dimensiones de las cantidades

I ANALISIS DIMENSIONAL

"Matemáticas de las dimensiones de las cantidades’’

Es una técnica mediante la cual se deduce información acerca de un fenómeno, basándose en la premisa de que este puede escribirse mediante una ecuación dimensionalmente homogénea entre ciertas variables. El resultado del A.D. consiste en reducir el número de variables originales que entran en el fenómeno a un conjunto más pequeño, formado con dichas variables, que conforman un grupo de parámetros dimensionales.

Un parámetro dimensional se puede considerar como el cociente de dos fuerzas que actúan en el fenómeno, indicándose, mediante la magnitud relativa de este cociente, la importancia de una de las fuerzas con respecto a la otra.

Si en un fenómeno dado, ciertas fuerzas resultan mucho mayores que otras, entonces es posible despreciar, a menudo, el efecto de las fuerzas más pequeñas, dando lugar a que los parámetros adimensionales se conviertan en característicos del fenómeno estudiado, recibiendo el nombre de Números Adimensionales en algunos casos. (Reynolds, Froude, Euler, Mach, Wueber, etc.).

El análisis dimensional se basa en el Principio de Homogeneidad Dimensional, que establece que “si una ecuación expresa correctamente una relación entre variables, debe ser dimensionalmente homogénea, es decir, sus sumandos deben tener las mismas dimensiones”.

Una variable es dimensional si su valor numérico depende de la escala usada en su medida; esto es, depende del sistema de unidades elegido. Una variable es adimensional cuando su valor numérico es independiente del sistema de unidades de medida. Ejemplos típicos de cantidades dimensionales son la longitud, el tiempo, la fuerza, la energía, etc. Los ángulos, la relación entre dos longitudes, el rendimiento, son ejemplos de cantidades adimensionales.

El Análisis Dimensional permite reducir el número y la complejidad de las variables que intervienen en la descripción de un fenómeno físico dado:

Si un fenómeno físico depende de n variables dimensionales, es posible reducir el problema a sólo k variables adimensionales, donde la reducción n-k puede ser 1, 2, 3 o 4, dependiendo del número de dimensiones básicas que intervengan en el fenómeno.

En definitiva, el Análisis Dimensional: (1) Permite un análisis cualitativo, (2) Muestra la dependencia entre las variables y (3) Simplifica las relaciones entre variables, mientras que la Teoría de Modelos permitirá extrapolar resultados entre flujos semejantes.

1.1. UTILIDAD DEL A.D.

Para determinar la forma de ecuaciones físicas a partir de las variables principales y de sus dimensiones. Para comprobar cualitativamente ecuaciones. Para determinar las dimensiones de coeficientes empíricos. Para establecer y realizar experimentos, descubriendo aspectos desconocidos del problema. Para formular leyes de similitud de considerable importancia en la investigación experimental.

1.2. DIMENSIONES

Las dimensiones empleadas en la mecánica son: fuerza, masa, longitud y tiempo, las cuales están relacionadas entre sí por la segunda ley de Newton sobre el movimiento:

F = Masa ´ Aceleración

donde la masa (inercial) es expresada a partir de esta relación, por lo cual solo tres de las cuatro dimensiones empleadas son independientes entre sí. Según la combinación de las dimensiones se puede hablar de dos sistemas de unidades: Absoluto y Gravitacional.

Sistema Dimensiones Unidades

Absoluto M L T Kilogramo - metro - segundo

Gravitacional F L T Newton - metro - segundo

1.3. DIMENSIONES Y CANTIDADES FÍSICAS

Variable Símbolo Unidad MLT FLT

Fuerza F Nw MLT-2 F

Masa M Kg. M FL-1T-2

Longitud L M L L

Tiempo T S T T

Velocidad lineal V m/s LT L

Velocidad angular w s-1 T-1 T-1

Velocidad del sonido C m/s LT-1 LT-1

Aceleración lineal A m/s2 LT-2 LT-2

Aceleración gravedad G m/s2 LT-2 LT-2

Gasto o caudal Q m3/s L3T-1 L3T-1

Caudal unitario Q m2/s L2T-1 L2T-1

Presión P Pa ML-1T-2 FL-2

Densidad r Kg/m3 ML-3 FL-4T2

Peso específico G N/m3 ML-2T-2 FL-3

Viscosidad dinámica M Pa.s ML-1T-1 FL-2T

Viscosidad cinemática V m2/s L2T-1 L2T-1

Tensión superficial S N/m MT-2 FL-1

Esfuerzo de corte t Pa ML-1T-2 FL-1

Modulo de elasticidad E( K) Pa ML-1T-2 FL-2

1.4. PROCEDIMIENTO DE APLICACIÓN DEL A.D.

Listar todos los parámetros (m) significativos que influyen en el problema a estudiar, m es el número de variables.

• Seleccionar un conjunto fundamental de dimensiones. FLT o MLT.

• Listar todas las variables en función del sistema escogido y clasificarlas en geométricas, cinemáticas y dinámicas, elaborando la matriz dimensional.

• Encontrar el orden del mayor determinante diferente de cero de la matriz dimensional. El orden de este determinante es n.

• Aplicar uno de los tres métodos de solución.

• El A.D. no corrige una mala selección de las variables que influyen en el fenómeno a estudiar.

1.5. MÉTODOS DE SOLUCIÓN

Los métodos de solución aplicables al A.D. se basan en el principio de homogeneidad dimensional establecido por Fourier en 1822 según el cual la relación entre un fenómeno y sus variables debe ser la unidad o una constante adimensional.

Ejemplo 1.1: Supóngase que se quiere estudiar la fuerza ejercida por una corriente uniforme de fluido sobre un objeto inmerso en él:

Se sabe que esta fuerza, F, depende de la longitud del objeto, L, de la rugosidad de la superficie, ε,de la velocidad del flujo, v, de la densidad del fluido, ρ, y de su viscosidad, µ. Esta relación se puede expresar como:

Si, por ejemplo, se toman 10 valores diferentes de cada variable, se deberán realizar 105 experimentos para definir adecuadamente esa relación. En cambio, el Análisis Dimensional va a permitir expresar esa relación como:

Si, como antes, se toman 10 valores diferentes de cada variable, se deberán realizar únicamente 102 experimentos para definir adecuadamente esa relación. Considérese ahora que no se considera la influencia de la rugosidad, o si el cociente ε/L es el mismo:

y que se tienen dos objetos geométricamente semejantes tal que en el “objeto prototipo” se tiene un tamaño L y en el “objeto modelo” se tiene un tamaño 2 L. Se va a igualar el número de Reynolds entre el modelo y el prototipo (suponiendo que se utiliza el mismo fluido):

Si se ensaya el modelo en esas condiciones, al ser iguales los números de Reynolds, la expresión anterior nos dice que también será igual la agrupación de variables del lado izquierdo:

1.5.1. Método de Rayleigh.

Si una expresión es de la forma x = a + b + c + d +... + n será necesario que todas y cada una de las variables tengan las mismas dimensiones. Si se tiene un conjunto de variables que representan un fenómeno dado y si todas o algunas de ellas, tienen dimensiones diferentes, una función que las relacione debe ser un producto de estas variables elevadas a determinadas potencias, de forma que se cumpla el principio de homogeneidad.

Ejemplo 1.2

Se sabe que la velocidad de salida de un fluido por un orificio practicado en la pared de un tanque, que contiene un fluido cualquiera, es una función de: la altura del fluido dentro del tanque y de la aceleración de la gravedad. Determinar la forma de la ecuación para la velocidad.

V = F (g,H)

Sistema MLT

[V] = [L T -1] [g] = [L T-2] [H] = [L]

Según Rayleigh V= C g b H a

LT-1 = C [L]a [L T - 2] b

Se debe cumplir que la suma de los exponentes de las dimensiones de la derecha sea iguales a la suma de los exponentes respectivos de la izquierda.

Para L

1 = a + b Þ a = 1-b

Para T

- 1 = - 2b Þ a = ½ y b = ½

Por lo tanto

\ V = C g½ H½

Cuando se aplica la ecuación de la energía o de Bernoulli se obtiene: , por lo tanto C debe tender como mínimo a Cv , sin tener en cuenta el fluido dentro del tanque y las características del orificio (diámetro y forma).

Ejemplo 1.3

Del problema anterior se obtiene que el caudal de salida será: , donde C no es una constante sino que varía con la carga y el tamaño del orificio y de las propiedades del fluido ( r , m ) . Determinar por A.D de que parámetro depende C.

1. Q = F( A,h,g,m ,r )

2. Sistema FLT

3. Unidades [Q] = L3 T-1 , [A] = L2 , [H] = L , [g] = LT-2

[m ] = FL-2T , [r ] = FL-4T2

4. Q = C m a r b Ac Hd ge

\ L3T-1 = ( FL-2T) a ( FL-4T2) b ( L2) ( L) d ( LT-2) c

para F 0 = a + b

para L 3 = -2a - 4b + 2c + d + e

para T 1 = a + b –2e -1 = a-a-2e

Al resolver para b, c, y e en función de a y d

b = -a

\

Para obtener la ecuación original, se multiplica y se divide por Þ

Por lo tanto

en el cual, el valor de los exponentes a, d y la constante C1, deben ser obtenidos experimentalmente.

Otra forma de analizar el problema sería cuando se asuma que el exponente d tienda a , (d=1/2).

1.5.2. Inconvenientes Método de Rayleigh.

Según el problema anterior, parece que en el análisis dimensional solo se pueden escribir tres ecuaciones ya que únicamente existen tres dimensiones fundamentales

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