Modelado empleando Ecuación Diferencial

        Proyecto Final

Modelado empleando Ecuación Diferencial

EQUIPO GJJ

Universidad de Guadalajara

Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingeniería

Arana Esparza Josue Eduardo

Ayala Maldonado Mariana Guadalupe

Salazar Martinez Jacob Jonas

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Introducción

A lo largo de este curso estudiamos varios tipos de ecuaciones diferenciales, sus métodos de solución, teoremas y fórmulas que podemos aplicar, como sabemos el nombre de esta asignatura es Matemáticas aplicadas a la Ingeniería Química, y la forma esencial en la que éstas matemáticas, es decir, los distintos métodos de solución de ecuaciones diferenciales, se han aplicado por años a la ingeniería química es en forma de modelados.

A continuación veremos puntos claves para poder comprender en qué consiste un modelado, cómo se compone, cómo se emplea, también, considerando que a lo largo de este curso hemos obtenido un amplio aprendizaje sobre las Ecuaciones Diferenciales, que son una de las bases claves para lograr hacer un modelado, en el siguiente contenido nos enfocaremos en mostrar puntos claves para poder hacer uno, como por ejemplo los parámetros que se deben de tener en cuenta, para posteriormente mostrar la resolución de un ejemplo.

Marco Teórico 

1.1 Introducción al modelado

Con frecuencia, para una mejor comprensión, es necesario describir en términos matemáticos el comportamiento de algunos sistemas o fenómenos de la vida real, sean físicos, sociológicos o hasta económicos. La descripción matemática de un sistema de fenómenos se llama modelo matemático y se construye con ciertos objetivos. Por ejemplo, podemos buscar entender los mecanismos de cierto ecosistema al estudiar el crecimiento de la población animal en ese sistema, o podemos desear datar fósiles y analizar el decaimiento de una sustancia radiactiva ya sea en el fósil o en el estrato en que éste fue descubierto.

 1.1.1 Formulación para un modelo matemático  

Para una mejor comprensión se puede dividir en dos pasos:

1. Identificación de las variables que ocasionan el cambio del sistema. Podremos elegir no incorporar todas estas variables en el modelo desde el comienzo. En este paso especificamos el nivel de resolución del modelo.
2. Se establece un conjunto de suposiciones razonables o hipótesis, acerca del sistema que estamos tratando de describir. Esas hipótesis también incluyen todas las leyes empíricas que se pueden aplicar al sistema.

Gracias a que con frecuencia las hipótesis acerca de un sistema implican una razón de cambio de una o más de las variables, el enunciado matemático de todas esas hipótesis puede ser una o más ecuaciones que contienen derivadas. En otras palabras, el modelo matemático puede ser una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales.

1.1.2 Proceso de solución para un modelo matemático

El siguiente paso después de formular el modelo matemático, ya sea una ecuación o un sistema de ecuaciones diferenciales, es analizar si podemos resolverlo, entonces consideramos que el modelo es razonable si su solución es consistente con los datos experimentales o con los hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema. Si las predicciones que se obtienen son deficientes, podemos hacer hipótesis alternativas acerca de los mecanismos de cambio del sistema. Entonces se repiten los pasos del proceso de modelado.

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Diagrama: Recuperado de, Zill D. (2009) Ecuaciones Diferenciales aplicadas al modelado.       

Nota: al aumentar la resolución, aumentamos la complejidad del modelo matemático y la probabilidad de que no podamos obtener una solución explícita.

Una solución del modelo expresa el estado del sistema, en otras palabras, los valores de la variable dependiente (o variables) para los valores adecuados de t que describen el sistema en el pasado, presente y futuro.              

1.2 Historia sobre modelados

 Uno de los primeros intentos para modelar el crecimiento de la población humana por medio de las matemáticas fue realizado en 1798 por el economista inglés Thomas Malthus. Básicamente la idea detrás del modelo de Malthus es la suposición de que la razón con la que la población de un país en un cierto tiempo es proporcional* a la población total del país en ese tiempo. En otras palabras, entre más personas estén presentes al tiempo, habrá más en el futuro. En términos matemáticos, si P(t) denota la población al tiempo t, entonces esta suposición se puede expresar como:

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