Notación de sumatoria

A veces se necesita determinar la suma de muchos términos de una sucesión infinita. Para expresar con facilidad esas sumas, se usa la notación de sumatoria. Dada una sucesión infinita el símbolo representa la sumatoria o suma sucesiva de los primeros "m" términos como se ve a continuación

Notación de sumatoria

La letra griega sigma mayúscula , indica tal suma sucesiva, y el símbolo representa el k-ésimo término. La letra es el índice (o variable) de sumatoria, y los números 1 y m indican los valores mínimos y máximo de tal índice o variable, respectivamente.

Evaluación de una sumatoria

Determinar la sumatoria

Solución:

En este caso . Para evaluar la sumatoria, solo se sustituye, consecutivamente, por los enteros 1,2,3 y 4 y se suman los términos resultantes

= + + = =10

Observación 1

No importa la letra que se usa para representar la variable de sumatoria. Por ejemplo, si j es la citada variable, entonces

que es la misma suma

El ejercicio anterior se puede representar

Si es un entero positivo, entonces la suma de los primeros términos de una sucesión infinita se representará con . Por ejemplo, dados

en general

Nótese que también se puede escribir

Y, para toda

Al número real se le denomina suma parcial de la sucesión infinita y la sucesión es una sucesión de sumas parciales.

Cálculo de los términos de una sucesión de sumas parciales.

Ejemplo

Calcular los cuatro primeros términos, y el n-ésimo, de la sucesión de sumas parciales relacionada con la sucesión 1, 2, 3, 4, 5,….., n de los enteros positivos

Solución.

Si , entonces los cuatro primeros términos de la sucesión de sumas parciales son

La n-ésima suma parcial (es decir, la suma de 1,2,3,4,5,….,n) se puede escribir en cualquiera de las siguientes formas:

Sumando los términos correspondientes en cada lado de las ecuaciones se obtiene:

Como la expresión aparece veces en el lado derecho de la última ecuación, entonces o, en forma equivalente

Teoremas

Teorema 1 de la suma de una constante

Demostración

Si es igual para todo entero positivo , por ejemplo para un número real c, entonces

Ejemplo 1.

Ejemplo 2.

Teorema 2

Demostración: Se restan los primeros términos de la suma de términos

( se aplica teorema 1 a ambas expresiones)

(se saca c como factor)

Ejemplo:

Observación:Como se muestra en la propiedad (2) del teorema anterior, el dominio de la variable de sumatoria no necesita comenzar en 1

Ejemplo =

Otra variante: si el primer término de una sucesión infinita es , como en

Entonces se consideran sumatorias de la forma

Que es la suma de los primeros términos de la sucesión

Ejemplo:

Evaluar + +

Teorema 3 ,4 y 5 considere que: …… y además ….. son sucesiones infinitas, entonces, para todo número entero positivo

Teorema 3

Teorema 4

Teorema 5 para todo número real

Evalúa la sumatoria

1) =

Solución

=

=

Usando propiedades se obtiene

1. =

2. =

Ejercicios

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