Operaciones Algebraicas

Suma algebraica

En la adición de expresiones algebraicas es necesario conocer el concepto de términos semejantes. Se llaman términos semejantes a aquellos que sin importar el coeficiente tienen las mismas literales elevadas a los mismos exponentes.

Ejemplo:

3x2-4xy+2y2+4y3-8x2+7xy+5y2

Son términos semejantes:

3x2 y -8x2

-4xy y 7xy

2y2 y 5y2

Por lo que la expresión se simplifica:

-5x2+3xy+7y2+4y3

Resta algebraica

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x2 + x – 3

Multiplicación algebraica

• Multiplicación de un número por un polinomio:

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 • (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x – 6

• Multiplicación de un monomio por un polinomio:

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. Sumando exponentes.

3 x2 • (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2

• Multiplicación de polinomios:

P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) • Q(x) = (2x2 − 3) • (2x3 − 3x2 + 4x) =

= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

División algebraica

P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1

P(x): Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 : x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4: x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes.

5x3: x2 = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2: x2 = 8

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x3+2x2 +5x+8 es el cociente.

Productos Notables

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

• Binomio al cuadrado

Formula: (a ± b)2 = a2 ± 2 • a • b + b2

Ejemplo 1:

(x + 3)2 = x2 + 2 • x • 3 + 32 =

= x2 + 6 x + 9

Ejemplo 2:

(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 • 2x • 3 + 32 =

= 4x2 − 12 x + 9

• Suma por diferencia

Formula: (a + b) • (a − b) = a2 − b2

Ejemplo:

(2x + 5) • (2x - 5) = (2x)2 − 52 = 4x2 – 25

• Binomio al cubo

Formula: (a ± b)3 = a3 ± 3 • a2 • b + 3 • a • b2 ± b3

Ejemplo 1:

(x + 3)3 = x 3 + 3 • x2 • 3 + 3 • x• 32 + 33 =

= x 3 + 9 x2 + 27 x + 27

Ejemplo 2:

(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 • (2x)2 •3 + 3 • 2x• 32 - 33=

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x – 27

• Trinomio al cuadrado:

Formula: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 • a • b + 2 • a • c + 2 • b • c

Ejemplo:

(x2 − x + 1)2 =

= (x2)2 + (-x)2 + 12 +2 • x2 • (-x) + 2 x2 • 1 + 2 • (-x) • 1=

= x4 + x2 + 1 - 2x3

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