Otras formas de representar los números complejos

Otras formas de representar los números complejos

1. Forma binómica.

Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a [pic 1], de este modo se tiene:

[pic 2]

Gráficamente, podemos representar [pic 3](y por tanto C) como un plano.

[pic 4]

Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria.

Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.

Usando este tipo de representación, la suma de complejos se corresponde con la suma de vectores. Dados dos vectores [pic 5] y [pic 6] su suma es [pic 7]

[pic 8]

Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir, si [pic 9], entonces el módulo de [pic 10] es [pic 11].

El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es decir, si [pic 12], entonces el conjugado de [pic 13] es [pic 14].

El opuesto de un número complejo es su simétrico respecto del origen.

[pic 15]

Es fácil ver que se cumple, [pic 16], por tanto podemos expresar el inverso de un número [pic 17]en la forma [pic 18].

En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los números complejos.

2. Forma polar o módulo-argumento

Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,

[pic 19]

donde [pic 20]es el módulo de [pic 21], y donde θ es un argumento de [pic 22], esto es, θ es un ángulo tal que

[pic 23], [pic 24].

[pic 25]

NOTA: Un número complejo tiene infinitos argumentos distintos. De hecho se puede definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos los posibles valores θ que verifican lo anterior, es decir,

[pic 26]

Es claro, por tanto, que si [pic 27] es un valor particular del argumento de [pic 28], entonces

[pic 29]

Se denomina argumento principal al único valor [pic 30] tal que [pic 31], y se denota [pic 32]

Se verifica entonces que

[pic 33].

Dos números complejos [pic 34]y [pic 35], representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales [pic 36], y sus argumentos se diferencian en un número entero de vueltas, es decir, [pic 37], con [pic 38].

La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es decir, si [pic 39], y [pic 40], entonces

...