Preliminares De Algebra

PRELIMINARES

¿QUÉ ES ALGEBRA?

Es una rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.

¿CUÁL ES LA DIFERENCIA ENTRE EL ÁLGEBRA Y LA ARITMÉTICA?

El concepto de la cantidad en Algebra es mucho más amplio que en Aritmética.

En aritmética las cantidades se representan por números y éstos expresan valores determinados y únicos. Así 20 expresa un solo valor: veinte; para expresar un número mayor o menor que éste, habría que escribir un número distinto de 20.

En álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Así, a representa el valor que nosotros le asignemos, y por tanto puede representar 20 o más de 20 o menos de 20, a nuestra elección.

NOTACIÓN ALGEBRAICA

Los símbolos usados en algebra para representar las cantidades son los números y las letras.

Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.

Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.

Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…

Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.

Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas; por ejemplo: a´, a´´, a´´´, que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de subíndices; por ejemplo: a1, a2, a3, que se leen a subuno, a subdos, a subtres.

FORMULAS

Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas.

Fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general.

Por ejemplo, la Geometría enseña que el área de un rectángulo es igual el producto de su base por su altura; luego, llamando A al área del rectángulo, b a la base y h a la altura, la fórmula representa de un modo general el área de cualquier rectángulo,

A = b x h

pues el área de un rectángulo dado se obtendrá con sólo sustituir b y h en la fórmula anterior por sus valores en el caso dado. Así, si la base de un rectángulo es 3 m. y su altura 2 m., su área será:

A = b x h = 3 m. x 2 m. = 6 m2

El área de otro rectángulo cuya base fuera 8 m. y su altura 3½ m., sería:

A = b x h = 8 m. x 3½ m. = 28 m2

SIGNOS DEL ALGEBRA

Los signos empleados en Algebra son de tres clases: signos de Operación, Signos de Relación y Signos de Agrupación.

SIGNOS DE OPERACIÓN

En Algebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en Aritmética: Suma, Resta, Multiplicación, División, Elevación a Potencias y Extracción de Raíces, que se indican con los signos siguientes:

OPERACIÓN SIGNO EJEMPLO SE LEE

SUMA + a + b a más b

RESTA - a – b a menos b

MULTIPLICACIÓN X, . (PUNTO), () a x b, a . b, (a) (b) a multiplicado por b

DIVISIÓN ÷, / a ÷ b, a / b a dividido entre b

POTENCIA a2, x3, cantidadpotencia ab, ba

RAÍZ cantidad a raíz cuadrada de a

COEFICIENTE

Es el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor.

Así, en el producto 3ª el factor 3 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando tres veces, o sea 3a = a + a + a, en el producto 5b, el factor 5 es coeficiente de b e indica que 5b = b + b + b + b + b. Estos son coeficientes numéricos.

En el producto ab, el factor a es coeficiente del factor b, e indica que el factor b se toma como sumando a veces, o sea ab = b + b + b + b…a veces. Este es un coeficiente literal.

En el producto de más de dos factores, uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes. Así, en el producto abcd, a es el coeficiente de bcd, ab es el coeficiente de cd; abc es el coeficiente de d.

Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente es la unidad. Así, b equivale a 1b; abc equivale a 1abc.

SIGNOS DE RELACIÓN

Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades.

SIGNO SIGNIFICA EJEMPLO SE LEE

= igual que a = b a igual a b

> mayor que a > b a mayor que b

< menor que a < b a menor que b

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Se emplean estos signos para indicar que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero.

SIGNO EJEMPLO CÓMO SE REALIZA

( ) (a + b) c El resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c.

[ ] [a – b] c La diferencia entre a y b debe multiplicarse por c.

{ } {a + b} ÷ c El resultado de la suma de a y b debe dividirse entre c.

 El producto de a y b debe sumarse al producto de c y d.

MODO DE RESOLVER LOS PROBLEMAS EN ARITMETICA Y EN ALGEBRA

A continuación es expuesto un ejemplo para hacer notar la diferencia entre el método aritmético y el algebraico en la resolución de problemas, fundado este último en la notación algebraica y en la generalización que ésta implica.

Las edades de A y B suman 48 años. Si la edad de B es 6 veces la edad de A, ¿qué edad tiene cada uno?

MÉTODO ARITMETICO

Edad de A más edad de B = 48 años.

Como la edad de B es 5 veces la de A, tendremos:

Edad de A más 5 veces la edad de A = 48 años

O sea, 6 veces la edad de A = 48 años

Luego

Edad de A = 8 años R

Edad de B = 8 años x 5 = 40 años R

MÉTODO ALGEBRAICO

Como la edad de A es una cantidad desconocida la representamos por x.

Sea x = edad de A

Entonces 3x = edad de B

Como ambas edades suman 48 años, tendremos:

x + 5x = 48 años

6x = 48 años

O sea,

Si 6 veces x equivale a 48 años, x valdrá la sexta parte de 48 años,

O sea x = 8 años, edad de A. R

Entonces 5x = 8 años x 5 = 40 años, edad de B. R

CANTIDADES ARITMETICAS Y ALGEBRAICAS

Cantidades aritméticas

Son las que expresan solamente el valor absoluto de las cantidades representado por los números, pero no nos dicen el sentido o valor relativo de las cantidades.

Por ejemplo, cuando en aritmética escribimos que alguien tiene $5, tenemos solamente la idea del valor absoluto $5 de esta cantidad, pero con esto no sabemos si la persona tiene $5 de haber o de deuda.

Cantidades algebraicas

Expresan el valor absoluto de las cantidades y además su sentido o valor negativo

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