Probabilidad

Introducción

Si el único propósito del investigador es describir los resultados de un experimento concreto, Si lo que se pretende es utilizar la información obtenida para extraer conclusiones generales sobre todos aquellos objetos del tipo de los que han sido estudiados, entonces estos métodos constituyen sólo el principio del análisis, y debe recurrirse a métodos de inferencia estadística, los cuales implican el uso inteligente de la teoría de la probabilidad.

Ya que la probabilidad constituye por sí misma un concepto básico que refleja su relación con la faceta del mundo exterior que pretende estudiar: los fenómenos aleatorios, los cuales obedecen unas ciertas reglas de comportamiento. De alguna manera, el concepto de probabilidad, se relaciona o nos recuerda las propiedades de la frecuencia relativa.

A partir de ella, y junto con las definiciones de probabilidad condicionada y la de sucesos independientes, se deducen los teoremas fundamentales del Cálculo de Probabilidades.

Desarrollo

 Terminologías

Población: Llamado también Universo, es el conjunto de elementos que poseen una o más características comunes. Por ejemplo: los alumnos matriculados en 3º, el censo electoral, los peces del mar etc.

Muestra: En vista de las grandes dificultades que presenta el estudio de una característica en un grupo tan numeroso como el que hemos llamado población, se elige otro más reducido, mediante unos criterios apropiados, a este grupo le llamamos muestra de la población. Del estudio de esta muestra se podrán establecer conclusiones sobre toda la población de la que forma parte. Si la muestra es seleccionada con el rigor necesario, puede bastar con un reducido número de individuos

Variables Estadísticas: Son las diferentes propiedades o cualidades que podemos estudiar en los individuos de una población. Según sea el valos que tomen, numérico o no tenemos la siguiente clasificación:

Variables Estadísticas Cuantitativa: cuando sólo toma valores numéricos. Estas variables se clasifican en dos tipos:

Discreta: Los valores numéricos que toma son aislados, por ejemplo el número de hijos de las familias españolas.

Continua: Puede tomar cualquier valor numérico entre otros dos dados, por ejemplo el peso de los alumnos de 3º.

Variables Estadísticas Cualitativas: Cuando la propiedad que estudiamos, su valor, no puede expresarse con números, por ejemplo el color de pelo de los turistas que visitaron España el 2008.

 La teoría de la probabilidad

Es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios estocásticos. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas, por ejemplo, si se calienta agua a 100 grados Celsius a nivel del mar se obtendrá vapor. Los fenómenos aleatorios, por el contrario, son aquellos que se obtienen como resultado de experimentos realizados, otra vez, bajo las mismas condiciones determinadas pero como resultado posible poseen un conjunto de alternativas, por ejemplo, el lanzamiento de un dado o de una moneda. La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.

En teoría de la probabilidad, un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestra, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio.

Evento simple o suceso elemental.

Un suceso o evento simple es un subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento.

Un evento compuesto es un subconjunto

Los eventos triviales son el conjunto universal Ω y el conjunto vacío. Al primero se le llama también evento seguro o cierto, y al segundo, evento imposible.

Sean dos eventos A y B, si ambos son conjuntos disjuntos, entonces ellos son eventos excluyentes.

Un evento con elementos infinitos pero numerables se llama σ-álgebra (sigma-álgebra), y un evento con elementos finitos se llama álgebra de sucesos de Boole.

 Sucesos incompatibles.

Son aquellos que no se pueden verificar simultáneamente. Cuando pueden verificarse ambos a la vez se llaman compatibles.

Si A y B son incompatibles, entonces A B= Ø

Si A y B son compatibles, entonces A B Ø

Sea el experimento aleatorio consistente en introducir 10 bolas numeradas del 1 al 10 en en una urna y extraer una de ellas.

Definimos los sucesos:

A = "salir un número par"

B = {1, 3, 9}

C = "salir un múltiplo de tres"

Los sucesos A y B son in compatibles pues para ninguna bola que saquemos se puede dar que salga par y que sea 1, 3 ó 9. En cambio los sucesos A y C son compatibles pues si la bola extraída es 6, será par y múltiplo de tres. También son compatibles A y B pues tanto 3 como 9 son múltiplos de tres y pertenecen a B.

 Sucesos contrarios

El suceso = E - A se llama suceso contrario o complementario de A.

Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A

 Sucesos compatibles

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.

 Sucesos dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

 Sucesos independientes

Dos sucesos son independientes si y sólo si p(A  B) = p(A) p(B).

Si dos sucesos son independientes

Y del mismo modo p (B|A) = p(B).

Esta propiedad coincide más con la idea intuitiva de independencia y algunos textos la dan como definición. Hay que notar, sin embargo, que ambas definiciones no son estrictamente equivalentes.

 Probabilidad condicionada

Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E.

Se llama probabilidad del suceso B condicionado a A y se representa por P(B/A) a la probabilidad del suceso B una vez ha ocurrido el A.

 Propiedades básicas de la probabilidad

 Definición de Probabilidad: La probabilidad,

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