Prueba de propiedades estadísticas

Nombre:___PAUTA____________________________________________________

[pic 1]

1. (25 PUNTOS)  El siguiente modelo analiza los determinantes del crimen:

[pic 2]

Donde delitos es la tasa de delitos cometidos en la región (# de delitos/100.000), educ es la educación promedio en la región, ingprom es el ingreso promedio en la región, poblacion  mide la población de la región (# personas),  y u es el error no observado.[pic 3]

[pic 4]

1. (5 puntos) Discuta en el espacio asignado, los signos esperados de los parámetros .[pic 5]

[pic 6]

β1 < 0 : Se espera que en promedio, en Regiones con mayores niveles de educación se cometan menos delitos.

β2 < 0 : Se espera que en regiones con mayores ingresos se cometan menos delitos.

β3 > 0 : Se espera que en regiones con mayor población se cometan más delitos.

1. (10 puntos) Supongamos que se estima el modelo anterior con MCO, y se obtienen los estimadores . Luego se estima otra regresión que incluye como regresor la variable bieber, que mide la cantidad de veces que canciones de Justin Bieber tocan en las emisoras de radio en la región. ¿Qué ocurre con las propiedades estadísticas de  (i.e., su valor esperado y varianza)? Explique su respuesta en el espacio indicado (no se corregirá fuera del cuadro).[pic 7][pic 8]

[pic 9]

Se espera que la variable bieber sea una variable irrelevante en la regresión ya que no afecta la decisión de las personas de cometer un delito. Eso implica que su el valor esperado coeficiente estimado es igual a cero. (2 puntos)

El valor esperado de , E() sigue siendo β1 , es decir, sigue siendo un estimador insesgado.[pic 12][pic 10][pic 11]

La varianza de  aumenta, por lo que es más imprecisa su estimación.[pic 13]

[pic 14]

Si bien la inclusión de variables irrelevantes aumentan el R2 de la regresión, las estimaciones de los demás coeficientes se vuelven más imprecisas (aumenta su varianza) y por lo tanto no es recomendable incluir variables irrelevantes en las regresiones.

PREGUNTA 1, CONT.

1. (10 puntos) Olvidemos a Justin Bieber (¡gracias a Dios!). Existe información sobre el número de carabineros asignados a cada región, pero no tuvimos acceso a ella en la estimación anterior.  Suponga que el único factor para asignar a carabineros a una región es la población: regiones con mayor población reciben más carabineros. Explique en el espacio indicado si la estimación anterior de  sobre-estima o sub-estima el efecto verdadero de la población en la tasa de delincuencia de la región. Justifique su respuesta utilizando expresiones precisas (no se corregirá fuera del cuadro).[pic 15]

[pic 16]

La regresión que nos gustaría poder estimar, es decir, la regresión verdadera es:

[pic 17]

Pero como no tenemos los datos de la cantidad de carabineros por región, se estima la regresión del enunciado:

[pic 18]

En este ejemplo, la variable población está correlacionada con la variable omitida, carabineros y el valor esperado de  sería:[pic 20][pic 19]

[pic 21]

Donde  es el coeficiente de la regresión  , es decir, mide la relación entre población y cantidad de carabineros por región. El último término de la expresión mide el sesgo en  . El sesgo depende del efecto de carabineros en delitos ( y de la correlación entre población y carabineros, .[pic 27][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

El signo del sesgo depende de los signos de estos dos efectos. A priori, esperamos que  < 0, es decir que mientras más carabineros menos delitos, ceteris paribus, y sabemos (por el enunciado) que  > 0 (regiones con más población tienen más carabineros). Por lo tanto, el signo del sesgo es negativo. [pic 30][pic 28][pic 29]

En la parte (a) se predijo que β3 > 0, y sabemos que el valor estimado    incluye el sesgo negativo del hecho que regiones más pobladas tienen más carabineros, por lo que el estimador  sub-estima el efecto real de la población en el número de delitos.[pic 33][pic 31][pic 32]

1. (25 PUNTOS)  Considere el modelo de regresión lineal múltiple expresado en forma matricial

[pic 34]

El modelo cumple con los supuestos del modelo lineal clásico. El estimador MCO de β está dado por [pic 35]

1. (10 puntos) Muestre que este estimador es un estimador insesgado de β. Utilice el espacio asignado.

1. Se reemplaza Y en la estimación de :[pic 37][pic 36]

[pic 39][pic 38]

[pic 40]

[pic 41][pic 42]

[pic 43]

2. Se toma la esperanza condicionada de :[pic 44]

[pic 45]

[pic 46][pic 47]

[pic 48]

1. (15 puntos) La información recogida en bases de datos “reales” no es perfecta. Suponga que la variable dependiente se observa con error de medición, es decir, Yobservado = Y + e donde Y es el valor verdadero y e es el error de medición desconocido. Muestre qué condición debe cumplirse para que el estimador MCO continúe siendo un estimador insesgado y explique brevemente la intuición de esta condición.

[pic 49][pic 50]

Yobservado = Y + e = Xβ + u + e

1. En la estimación de  se reemplaza Yobs :[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54][pic 55]

Se toma la esperanza condicionada de :[pic 56]

[pic 57]

[pic 58][pic 59]

[pic 60]

2. La condición que debe cumplirse para que el estimador  sea insesgado es que E(e|X) = 0. [pic 61]

3. Intuitivamente, esto significa que el error de medición no está correlacionado con las variables independientes en X.

...