SEL y Determinantes.

SEL  y  Determinantes.

#1) Sea un Sistema de Ecuaciones Lineales muy simple, de sólo 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

#2) Veamos en el una forma de hallar la solución, pero con una ventaja generalizadora: si usamos letras en lugar de números (o álgebra en lugar de aritmética) no sólo obtendremos las SOLUCIONES CONCRETAS para un sistema dado; sino LA SOLUCIÓN COMPLETAMENTE GENERAL, PARA CUALQUIER SISTEMA (SEL) QUE SEA DEL MISMO TIPO.

#3) Lo siguiente es que entonces, a partir de esa conveniencia demostrada, se puede introducir todo un proceso de introducción al álgebra matricial y a la teoría de los determinantes, de una manera relativamente cómoda e intuitiva. No se tratará entonces de DEFINIR AXIOMÁTICAMENTE a nuevos entes, cuya utilidad práctica deberá demostrarse luego; sino por el contrario, se tratará DE ARGUMENTAR EL POR QUÉ ES ÚTIL INTRODUCIR UN ALGORITMO NUEVO, PROBADO QUE ES MUY EFICIENTE Y GENÉRICO PARA RESOLVER SEL.

Partimos entonces del sistema simple considerado, de 2x2.

[pic 1]   (1) Que será la primera ecuación del sistema.

[pic 2]   (2) que será la segunda ecuación del sistema.

Note que, tanto en (1) como en (2), sólo hay dos incógnitas, que son [pic 3]. Sin embargo, los otros elementos [pic 4] son representaciones de valores constantes, números reales, sólo que en lugar de usar valores concretos (lo que haría muy particulares las soluciones buscadas) usamos consantes desconocidas (lo que le da completa generalidad al proceso que seguiremos).

Para ser más claros, pongamos un ejemplo. Si cambiásemos las ecuaciones (1) y (2), por las siguientes, sólo estaríamos seguros de que las soluciones halladas resolverían ESTE ÚNICO CASO, PERO NADA MÁS.

[pic 5]  (a)

[pic 6] (b)

Es fácil comprobar (o hallar) que las soluciones son [pic 7].

Entones queda claro que RESOLVIMOS UN SEL DE 2X2; PERO DE LO QUE SETRATA ES DE ENCONTRAR UN ALGORITMO QUE LOS SOLUCIONES TODOS, DE UNA VEZ POR SIEMPRE.

Entonces, no parece exagerado decir que merece la pena, al menos una vez en la vida, que ese algoritmo existe y que es relativamente fácil hallarlo para el caso más simple y después hay otras vías para generalizarlos a casos más complejos como SEL de NxN; es decir de N ecuaciones con N incógnitas.

Refresamos entonces al SEL que es nuestro objeto de estudio y análisis.

Resolviendo primero para la incógnita x1

Cada ecuación se multiplica por el término adecuado para que al sumarla (o restarla) con la otra, permita despejar el valor deseado. Así:

[pic 8]  (3)

Es decir, se ha multiplicado la expresión (1) por el término “[pic 9]” y se ha usado el “[pic 10]” como signo de multiplicación, para evitar confusiones con las incógnitas “[pic 11]”.

[pic 12] (4).

Ahora se ha multiplicado la expresión (2) por el término “[pic 13]” y sigue el mismo comentario.

Restando la expresión (4) de la (3)

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]=[pic 17] 

De donde finalmente se puede despejar el valor de “[pic 18]” como:

[pic 19]   (5) Que es la solución para [pic 20].

Note que, si se conocen todos los valores numéricos involucrados [pic 21], es prácticamente inmediato hallar la primera solución buscada.

Resolviendo después para la incógnita x2

Ya no es necesario repetir todo el proceso nuevamente. Basta con decir que se multiplica nuevamente por los término apropiados para lograr la cancelación y de modo semejante se llega a

[pic 22]

[pic 23]=[pic 24]

De donde finalmente se puede despejar el valor de “[pic 25]” como:

[pic 26] (6’) Que es la solución para [pic 27]. Por razones de comodidad (y simetría) conviene hacer una pequeña transformación en este resultado, multiplicando tanto el numerador “N” como el denominador “D” de la última expresión, la que quedará entonces como:

[pic 28] (6)

Hasta aquí, se ha logrado lo propuesto en el #2, que ya sería bastante pero no es el objetivo final, sino llegar al paso #3.

Recapitulando entonces, puede decirse que cada vez que se tenga un SEL de 2x2, como el del inicio, las expresiones (5) y (6) nos darán las soluciones del mismo.

Ahora, dichas expresiones no son tan fáciles de aprender como para memorizarlas sin más, aunque se podría para este caso sencillo.

Sin embargo, cuando los SEL empiezan a ser cada vez mayores (por ejemplo de 3x3, de 4x4, y así sucesivamente) las expresiones equivalentes a la (5) y (6), ya se hacen mucho más difíciles de memorizar y entonces los matemáticos razonaron así: si se puede “idear o fabricar” un recurso nuevo que permita obtener siempre estas expresiones con relativa facilidad, entonces sí se habrá dado un buen paso de avance en la solución de los SEL.

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