Determinante

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ A

1. INTRODUCCIÓN

En la solución de modelos matemáticos se requiere calcular el determinante de una matriz. A continuación se presenta el procedimiento para calcular el forma numérica dicho determinante.

2. FUNDAMENTO MATEMÁTICO

Para calcular el determinante de una matriz A, en forma numérica, primero vamos a recordar como se calcula el determinante de una matriz triangular superior (una matriz triangular superior es aquella que tiene valores en la diagonal principal y arriba de la diagonal principal).

Sea la matriz triangular superior U

(a)

Por el teorema del algebra lineal su determinante es:

(b)

Dicho en otras palabras el determinante de una matriz triangular superior es la multiplicación de los elementos de su diagonal principal.

El proceso para calcular el determinante de cualquier matriz A es:

a) Dada la matriz A, mediante la triangulación del método de eliminación gaussiana, se obtiene la triangular superior de A, ec (a).

b) Se multiplica la diagonal principal de la triangular superior, ec.(b).

Para tener una mejor comprensión del procedimiento se va a desarrollar el método para una matriz de 3 x 3.

Sea una matriz de 3 x 3, esto es

A) TRIANGULACIÓN

1) Primera Transformación

Para la primera eliminación la ec. (1) se divide entre y se tiene,

se multiplica la ec. (4) por y se tiene

se resta miembro a miembro la ec. 2 y la ec. 5 se tiene;

se multiplica la ec. 1 por y se tiene:

se resta miembro a miembro la ec. 3 y la ec. 7 se tiene;

las ecuaciones de la primera transformación son la ecs. (6), (8) se tiene:

al observar las ecs. 6 y 8 los coeficientes se van a igualar con las siguientes coeficientes con un superíndice que indica la primera transformación esto es:

al sustituir las ecs. (9),(10),(11) en la ec. (6) y sustituir las ecs. (12), (13), (14) en la ec. (8) se tiene

2) Segunda Transformación

La ec. (15) se divide en y se tiene:

la ec. (17) se multiplica por y se tiene:

se resta miembro a miembro la ec. (16) y la ec. (18) y se tiene:

al observar la ec. (19) , estos coeficientes se van a igualar con el coeficiente de la siguiente ecuación con el superíndice para indicar la segunda transformación, esto es:

al sustituir las ecs. (20),(21) en la ec.19 se tiene:

con la ec. (22) se da por terminado la segunda transformación.

El resumen de la triangulación son las ecs. (1), (15), (22) esto es:

las ecs. (23), (24), (25), es el sistema transformado del sistema original y se observa que el sistema es una triangular superior.

B) MULTIPLICACIÓN DE LA DIAGONAL PRINCIPAL

Una vez hecha la transformación de la matriz A ecs. (1),(2), y (3) en una triangular superior ecs. (23),(24),(25) por el método de eliminación gaussiana, se procede a calcular el determinante de la triangular superiro que de acuerdo a la ec. b esto es:

(26)

3. ALGORITMO

Al observar con detalle el procedimiento para calcular el determinante de una matriz A de orden tres por tres, se puede generalizar el procedimiento para una matriz de n x n, los algoritmos se presentan a continuación, Sea una matriz A.

Definición de variables

K Es el número de transformaciones.

N Es el número de renglones de la matriz A

A Es la matriz de coeficientes.

a Son los componentes de la matriz A.

a) Triangulación

K=1, ..., N

b) Multiplicación de la diagonal principal

Una vez que se realizó la triangulación, de los valores ya transformados únicamente se multiplica la diagonal principal.

4. EJEMPLO NUMÉRICO

Calcular el determinante de la siguiente matriz por el método de eliminación gaussiana..

A) TRIANGULACIÓN

1) Primera Eliminación

La ec. (1) se divide entre 3.0 y se tiene:

Luego se multiplica la ec. (4) por 0.1 , esto es:

y se resta miembro a miembro a la ec. (2) y la ec. (5) esto es:

Al simplificar se tiene:

Se multiplica la ec. (4) por -0.3 y se tiene:

Y se resta miembro a miembro la ec.(3) y la ec. (8) y se tiene:

Al simplificar se tiene:

Las ecuaciones transformadas de la primera eliminación son las ecs. (7) y (10) esto es:

2) Segunda Transformación

La ec. (11) se divide entre 7.003333 y se tiene:

Se multiplica la ec. (13) por -0.21 y se tiene:

Se resta miembro a miembro la ec. (12) y la ec. (14) y se tiene:

Al efectuar operaciones en la ec. (15) se tiene:

Las ecuaciones transformadas del proceso de triangulación son la ecs. (1), (11), (15), esto es:

Las ecs. (17),(18),(19) son las ecuaciones que forman la triangular superior.

B) MULTIPLICACIÓN DE LA DIAGONAL PRINCIPAL

Una vez que se ha hecho la transformación de la matriz A en una triangular superior, únicamente hay que multiplicar la diagonal principal para obtener el determinante, son las ecs. (17),(18),(19)

Se tiene:

det(A) = (3)(7.003333)(9.9771204) = 209.619289

INVERSA DE UNA MATRIZ

1. INTRODUCCIÓN

En muchos problemas de ingeniería se requiere obtener la matriz inveresa de una matriz A.

Por definición la inversa de una matriz es la adjunta de la matriz A entre el determinante de la matriz A, ver la ec.

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