Determinantes

DETERMINANTES

A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o

Una tabla ordenada n ð n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de orden n, no es una matriz.

La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas.

DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS

Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue:

= a11

Así, el determinante de una matriz 1 ð 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = |a11| = a11.

Ejemplos:

a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3) = -3, det (3x+5) = 3x+5.

b)

DETERMINANTES DE ORDEN TRES

Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se define como sigue:

a12a21a33 - a32a23a11

Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:

Ejemplo:

Calcular el valor del determinante:

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63

El determinante de la matriz 3 ð 3 A = (ai j ) puede reescribirse como:

det (A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) =

que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinación lineal puede indicarse de la forma siguiente:

Nótese que cada matriz 2 ð 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente.

Ejemplo:

Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con :

= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Las propiedades básicas del determinante son las siguientes:

1. El determinante de una matriz A y el de su traspuesta AT son iguales, es decir,

2. Sea A una matriz cuadrada,

ð Si A posee dos filas (columnas) iguales, necesariamente

= 0.

ð Si A es triangular, esto es, A sólo tiene ceros por encima o por debajo de la diagonal principal, entonces

es igual al producto de los elementos de la diagonal.

3. Supongamos que B se ha obtenido de A mediante

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