Determinantes

DETERMINANTES

Sea A = (aij) una matriz cuadrada de orden n sobre un cuerpo K, se dice que el DETERMINANTE de la Matriz An, es de orden n y frecuentemente se representa por

Diagonal Principal

Un Determinante de orden arbitrario n, es un escalar asociado a una matriz cuadrada de orden n; es el valor de la matriz de orden n.

Definición:

Sea M el conjunto de las matrices cuadradas de orden n y D:M → R una función, de manera que a cada matriz A є M le corresponda un escalar D(A) є R, entonces la función D se denomina DETERMINANTE de A, y se representa como D(A) = Det(A) = |A|

DETERMINANTES DE ORDEN 2

Si entonces

Ejemplo:

Si Entonces

Ejemplo:

Si

Ejemplo:

Si

Ejemplo: Determinar el valor de k, tal que D(A) = 0

Ejemplo: Determinar el valor de t, tal que D(A) = 0

DETERMINANTES DE ORDEN 3

Si entonces

Método de Sarrus

Aumentar las dos primeras filas o las dos primeras columnas y multiplicar los elementos de las diagonales: La diagonal principal y sus paralelas se suman. La diagonal secundaria y sus paralelas se restan

Ejemplo: Si

Ejemplo: Si

Ejemplo: Determinar el valor de t, tal que D(A) = 0 Siendo

Otro método de resolución: (Basado en la regla de Sarrus)

Ejemplo: Si

EJERCICIOS:

1) Calcular el determinante de A:

a) b) c)

d) e) f)

2) Determinar el valor de t, tal que D(A) = 0

a) b)

c) d) e)

Propiedades:

Todo lo que se afirme de filas es aplicable también a columnas.

i) Si A є Mnxn entonces D(A) = D(At)

Ejemplo:

Si

El determinante de la matriz A es igual al determinante de su matriz transpuesta

ii) Siendo A1, A2, An filas de A

Ejemplo:

Si

Si se multiplica una línea (fila o columna) de una matriz A por un escalar α entonces el valor del determinante queda multiplicado por ese valor α.

iii)

Ejemplo:

Si

iv) Siendo A1, A2, An columnas de A

Ejemplo:

Si

Al intercambiar una fila (o columna) por otra el determinante cambia de signo

v)

Ejemplo: Si

El determinante de la matriz unidad o identidad siempre es igual a 1

vi)

Ejemplo:

Si

Si todos los elementos de una fila (o columna) de A son ceros, entonces el determinante es cero

vii)

Ejemplo:

Si

Si dos filas (o columnas) de A son iguales, entonces el determinante es cero

viii)

Ejemplo:

Si

Si una fila (o columna) de A es múltiplo de otra, entonces el determinante es cero

ix)

Ejemplo:

Si

Si en una matriz A, a una de sus líneas le sumamos una línea múltiplo de otra el determinante de la matriz resultante no varía.

x) Si A es una matriz triangular, entonces

Ejemplo:

Si

El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal.

xi) Si A es una matriz de orden n, se verifica que |α A| = αn|A|

EJEMPLOS:

Aplicando las propiedades de los determinantes calcular los siguientes determinantes:

1)

2)

3) Si Calcular

EJERCICIOS:

Aplicando las propiedades de los determinantes demostrar las siguientes identidades:

1) 3)

2) 4) calcular

DETERMINANTES DE ORDEN n

Definición:

Sea A = (aij) una matriz cuadrada de orden n, se llama MENOR COMPLEMENTARIO (o simplemente menor) del elemento aij, al determinante D(Aij) de la matriz de orden n – 1 que se obtiene al suprimir en A los elementos de la fila i y la columna j.

Ejemplo: Si

El menor del elemento

El menor del elemento

El menor del elemento

Definición:

Sea D(Aij) el menor del elemento aij, este menor afectado por su signo (-1)i+j recibe el nombre de ADJUNTO O COFACTOR del elemento aij y se representa por αij

Es decir:

...