Determinantes

6.7. Método de solución (eliminación y por determinantes) e interpretación geométrica

PROCEDIMIENTO

Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de sustitución:

1. Resuelve una de las ecuaciones para x o y.

2. Sustituye la expresión resultante de la otra ecuación. (Ahora se tiene una ecuación con una variable).

3. Resuelve la nueva ecuación para la variable.

4. El valor de esa variable se sustituye en una de las ecuaciones originales y se resuelve esta ecuación para obtener el valor de la segunda variable.

5. La solución se comprueba sustituyendo los valores numéricos de las variables en ambas ecuaciones

Ejemplo 1

Resuelve:

SOLUCIÓN Utilicemos el procedimiento de los cinco pasos:

1. Resuelve una de las ecuaciones para x o y. Resolveremos aquí la primera ecuación para y). y = 8 - x

2. En la ecuación 2x – 3y = -9; escribe 8 – x en lugar de la y. 2x – 3(8 – x) = -9

3. Resuelve la nueva ecuación para la variable:

2x – 3(8 – x) = -9

2x – 24 +3x = -9 Simplificando

5x – 24 = -9 Combinando términos semejantes

5x = 15 Suma 24 a ambos lados

x = 3 Divide entre 5

4. Sustituye el valor de la variable x=3 en una de las ecuaciones originales. (aquí lo hacemos en la ecuación x + y = 8. Luego resuelve para la segunda variable 3+y=8 Nuestra solución es el par ordenado (3, 5) ya que y = 5.

5. Comprobamos; cuando x= 3 y y=5; x + y = 8 se convierte en 3 + 5 = 8 y 8=8. Lo cual es verdadero.

Luego para la segunda ecuación, 2x – 3y = -9 se convierte en

2(3) – 3(5) = -9

6 – 15 = -9

-9 = -9

Lo que también es cierto. De este modo nuestra solución (3,5) es correcta.

Ejemplo 2

Solución de un sistema inconsistente.

Resuelve el sistema

SOLUCIÓN Utiliza el procedimiento de los cinco pasos

1. Resuelve la ecuación para una de las variables (resolveremos aquí la primera ecuación para x) x = 4 -2y

2. Sustituimos x = 4 -2y en la segunda ecuación

2(4 –2y) = -4y +6

8 –4y = -4y +6 Simplificamos

8 –4y +4y = -4y +4y +6 Suma 4y

8 = 6

3. No hay ecuación que resolver. El resultado 8 = 6, nunca es verdadero. Es una contradicción. Puesto que nuestro procedimiento es incorrecto, concluimos que el sistema dado no tiene solución; es inconsistente.

4. No necesitamos el paso 4

5. Comprueba; nota que si se divide la segunda ecuación entre 2, obtienes x = -2y+3 o x+2y=3, lo que contradice a la primera ecuación, x +2y = 4.

Ejemplo 3

Solución de un sistema dependiente

Resuelve el sistema

SOLUCIÓN. Como antes, utilizaremos el procedimiento de los cinco pasos.

1. Resuelve la primera ecuación para x obteniendo: x=4 –2y

2. Sustituye x=4 –2y en 4y +2x= 8

4y +2(4 –2y) = 8

4y +8 –4y = 8 Simplifica

8 = 8

3. No hay ecuación que resolver. Observa que en este caso obtuvimos la proposición verdadera 8 = 8, sin importar cual valor se le asigne

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