DETERMINANTES

DETERMINANTES

Álgebra Lineal

Septiembre 2014

Johans Márquez García

Sara Galván

Ludwing Villa

Determinantes

Determinantes.

Asociado a cada matriz cuadrada A hay un número llamado determinante de A.

Determinante de A se puede escribir de dos formas:

determinante de A (no lo confundan con el signo del valor absoluto de número real)

Det A Esta se utiliza a veces en lugar de para evitar la confusión.

Una matriz es de primer orden cuando únicamente tiene un solo elemento y y definimos la determinante de A como .

Ahora si la matriz A es una matriz cuadrada de segundo orden tendremos una matriz de 2 x 2 de modo quede

det A = a11a22 – a12a21.

Ahora para el caso de 3 x 3 tenemos:

Definición.

Sea . Entonces

Ejemplo.

Evalúe el determinante de la siguiente matriz

Solución:

Existe otro método para calcular determinantes de 3 x 3. Se escribe el determinante en cuestión y se le adjuntan sus dos primeras columnas:

Después se calculan los seis productos, sumando todos los indicados por las flechas hacia abajo menos aquellos indicados por las flechas hacia arriba.

Ejemplo.

Evaluar el siguiente determinante

Solución:

Se anexan las dos primeras columnas y se realizan los productos con los signos apropiados:

Definición.

Sea A una matriz cuadrada.

El menor del elemento aij se denota como Mij y es el determinante de la matriz que queda después de borrar el renglón i y la columna j de A.

El cofactor de aij se denota como Aij y está dado por

Ejemplo.

Determine el menor y el cofactor de los elementos a11 y a32 de .

Solución:

Aplicando la definición anterior, se tiene lo siguiente:

Definición.

El determinante de una matriz A de n x n es la suma de los productos de los elementos del primer renglón por sus cofactores.

Si A es de 3 x 3, |A| = a11A11 + a12A12 + a13A13

Si A es de 4 x 4, |A| = a11A11 + a12A12 + a13A13 + a14A14

Si A es de n x n, |A| = a11A11 + a12A12 + a13A13 + … + a1nA1n

A estas ecuaciones se les llama expansión por cofactores de |A|.

Ejemplo.

Evalúe el determinante de la siguiente matriz

Solución:

Usando los elementos del primer renglón y sus correspondientes cofactores se obtiene

En general se tiene:

Teorema

El determinante de cualquier matriz cuadrada es la suma de los productos de los elementos de cualquier renglón o columna por sus cofactores.

Expansión a lo largo del renglón i:

Expansión a lo largo de la columna j:

Definición.

Matriz triangular.

Una matriz cuadrada se llama triangular superior si todos sus elementos debajo de la diagonal principal son cero. Es una matriz triangular inferior si todos sus elementos arriba de la diagonal principal son cero. Una matriz se llama matriz diagonal si todos los elementos que no están sobre la diagonal principal son cero. Una matriz diagonal es tanto triangular superior como inferior.

Ejemplo:

Las matrices A y B son triangulares superiores.

Las matrices C y D son triangulares inferiores.

La matriz es una matriz diagonal. También es triangular superior e inferior.

Teorema.

Sea A = (aij) una matriz de n x n triangular superior o inferior. Entonces

det A = a11 a22 a33 … anm

Esto es, el determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus componentes en la diagonal principal.

Ejemplo.

Evaluar el determinante de la siguiente matriz

Solución.

Ya que C es una matriz triangular, podemos aplicar el teorema anterior.

det C = 5(3)(4) = 60

Teorema

Sea T una matriz triangular superior. Entonces T es invertible (tiene inversa) si y sólo si det T = 0.

Propiedades de los determinantes.

Sean A, B y C determinantes de n x n .

1. det ( A + B ) = det A + det B.

2. det AB = det A det B.

3. det At = det A

4. Si cualquier renglón o columna de A es un vector cero, entonces det A = 0

5. Si el renglón i o la columna j de A se multiplica por un escalar c, entonces det A se multiplica por c.

6. El intercambio de cualesquiera dos renglones (o columnas) distintos de A, tiene el efecto de multiplicar det A por ̶ 1.

7. Si a tiene dos renglones o columnas iguales, entonces det A = 0.

8. Si un renglón (columna) de A es un múltiplo escalar de otro renglón (columna),

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